亲生父子之间私下签订的断绝关系协议、声明在法律上全部无效，子女依旧属于第一顺序法定继承人，有权继承父亲遗产。除非出现法定的丧失继承权情形，或者父亲订立合法有效的遗嘱排除继承权。
亲生父子：私下断绝关系协议、声明全部无效
亲生父子属于自然血缘血亲关系，不能通过签断绝协议、口头宣告、登报等方式解除父子关系，这类文书在法律上没有效力。
即使双方签字按手印、找见证人，血缘带来的法定权利义务依然存在，子女依旧属于第一顺序法定继承人，有权继承父亲遗产。
什么情况下会丧失继承权（《民法典》）
只有出现下面法定情形，才会丧失继承权，单纯“断绝关系”不算：
- 故意杀害被继承人；
- 为争夺遗产杀害其他继承人；
- 遗弃、虐待被继承人情节严重；
- 伪造、篡改、隐匿或者销毁遗嘱，情节严重；
- 以欺诈胁迫手段迫使或者妨碍被继承人设立、变更、撤回遗嘱，情节严重。
如果子女长期不尽赡养义务，虽然不会直接丧失继承权，但分割遗产时法院可以判决少分或者不分遗产。
父亲想不让该子女继承，正确做法
不能靠断绝关系协议，应当订立合法有效的遗嘱，在遗嘱中明确遗产不分配给该子女，才可以排除其法定继承权利。
例外：收养父子关系
如果是收养形成的父子关系，可以通过民政局协议解除，或者向法院诉讼解除收养关系；收养关系依法解除后，养子女不再享有对养父母的法定继承权。
补充：义务不会消失
即便双方写了断绝父子关系，成年子女依然负有赡养父亲的法定义务，不能以断绝关系、放弃继承为由拒绝赡养。
简单总结：亲生父子，签断绝关系没用，没丧失继承权事由就可以继承；想要剥夺继承，立合法遗嘱；收养父子可依法解除，解除后不再继承。
以上信息仅供普法参考，不构成法律意见，实际纠纷建议咨询执业律师。