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三大宇宙速度的推导
袁野
袁野

河海大学 水力学及河流动力学硕士
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三大宇宙速度的推导

重力加速度： [公式]

外有引力常数： [公式]

地球半径： [公式]

地球质量： [公式]

太阳质量： [公式]

太阳与地球之间的距离： [公式]

（1）第一宇宙速度（环绕速度）——7.9km/s

物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的最小发射速度。

根据定义，直接由外有引力提供物体匀速圆周运动所需向心力： [公式] ，

从而得到： [公式] ，根据黄金代换： [公式] ,

解得： [公式]

（2）第二宇宙速度（逃逸速度）——11.2km/s

物体挣脱地球引力束缚，离开地球的最小发射速度。

首先介绍引力势能公式：两物体间的外有引力势能大小为： [公式] ,

注意，引力势能为负值，物体间距离越大，引力势能越大，当距离达到无穷时，引力势能最大，为0焦耳。

因此，当物体挣脱地球引力飞向据地球无穷远处时，物体动能和势能都为0焦耳，根据机械能守恒定理，在地球上发射时动能和引力势能之和也应该为0焦耳， [公式] ，即：

[公式]

化解得到：

[公式]

（3）第三宇宙速度推导——16.7km/s

物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外空间的最小发射速度。

首先，我们发射卫星时可以利用地球的公转速度，因此，先求解地球绕太阳的公转速度，即：

[公式]

解得：

[公式]

然后，我们不考虑地球影响（或假设地球不存在），以太阳为参考系，那么在地球附近的物体具有的动能与势能之和为：

[公式]

若该物体能挣脱太阳引力，则应该满足 [公式] ，即：

[公式]

解得

[公式]

注意：其实在推导第一宇宙速度（环绕速度）和第二宇宙速度（逃逸速度）的时候，我们已经发现逃逸速度是环绕速度的根号2倍了。因此上述v0相当于地球逃逸太阳的速度。

前面已经说过，发射卫星时可以利用地球的公转速度，因此得到：

[公式]

也可以理解为是相对地球的速度，即以地球为参考系的速度。

刚才我们求解得到 时是假设地球不存在的，现在把地球还原，则发射速度还要克服地球引力作用，即：

[公式]

联立： [公式]

可得： [公式]

注意上式可以直接理解为：发射的动能还需要附加一个物体从地球上逃逸的动能。

简单地说，发射动能相当于地球从太阳系逃逸后，物体再从地球上逃逸。当然这个说法不完全正确，因为涉及到一个相对速度和参考系的变化！

最终解得：

[公式]

（4）其他几个宇宙速度

第四宇宙速度：物体摆脱银河系引力束缚，飞出银河系的最小发射速度，大约为110-120km/s。

第五宇宙速度：物体飞出本星系群的最小发射速度，由于本星系群的半径和质量均未有足够精确数据，因而无法准确得知大小。估计本星系群大小为500-1000光年，照这样计算，至少需要1500-2250km/s 的发射速度才能飞离。

第六宇宙速度：假设宇宙之外还有别的世界，要摆脱宇宙到达另一个世界，需要的最小发射速度，这就是第六宇宙速度，该宇宙速度是否存在，不得而知！