与日本数学和西方数学相比，中国数学在某些领域确实比较早熟。比如说，最早认识到负数的存在，最早用负数求解方程组，最早把圆周率准确推算到小数点后第七位，最早发展出成熟的除法运算......
还有一项技能可以证明中国数学的早熟——开平方。
我们知道，求一个数的平方很容易，让这个数乘以它自身就行了。平方运算在《九章算术》以及后来的数学典籍里比比皆是，古代中国数学家称之为“自乘”。例如3的平方，就是让3自乘，也就是3×3，结果是9。15的平方，就是让15自乘，也就是15×15，结果是225。汉唐时期的筹算，明清时期的珠算，都有清晰的自乘方法和完备的自乘规则。算一个数的平方，哪怕是一个很大很大数字的平方，对中国古人来讲，都像砍瓜切菜一样容易。
可是开平方呢?怎么用算筹或者算盘对一个大数开平方呢?说说容易:开方是乘方的逆运算，开平方是平方的逆运算。真正算起来要难得多，不信你问一些上过大学的成年人，让他们不借助计算器和计算机，全靠手工，对一个三位数或者五位数开平方，他们十有八九不会做。
正在读初中的小朋友倒有可能算得出来，因为初中数学课本上介绍过手动开平方的基本流程。虽然这部分内容在多数版本的数学教材上都是选修，但一个学生只要留心，就能掌握手动开平方的技能。
我们随便选一个三位数，729，现在对它开平方。
第一步，将被开方数分段，从右向左，每两位划成一段，用撇号分开。即把729分成7'29。
第二步，从左向右，分段开方，先对7开方，三三得九，3的平方是9，大于7，所以7的平方根不可能大于3，只能写成2。我们在7的上面写2，表明729的平方根是个两位数，这个两位数的十位是2。
第三步，二二得四，2的平方等于4，用7减4，还余3，在7'29下面一行写上329。也就是说，如果用20作为729的平方根，那么还有329没被开方。
第四步，用329作为被除数，用2和20的乘积40作为除数，两者试除，商为8。将8乘以40，再加上8的平方，结果是384，大于329。所以要退商，用7乘以40，再加上7的平方，结果是329。329减329，余数为0，于是我们在29的上面写7。
第五步，验算，7'29上面是27，让27自乘，恰好等于729，说明729的平方根就是27。
以上开方过程，既用到了乘法，也用到了除法，又比列竖式做乘法和列除式做除法要复杂。其中最复杂的步骤，是试商:让第一步得到的商乘以20，再与没开方完的数相除，得到一个新的商;再拿这个新的商乘以第一步的商，再乘以20，再加上新商的平方，再与没开方完的数相比较，如果新商偏大，就要减小(退商)，如果新商偏小，就要增大(补商)。
对小朋友来讲，难以理解的不是计算步骤，而是为什么要让原商乘以20，为什么要与没开方完的数相除，如此估出一个新商，新商为什么还要乘以原商并且再乘以20，还要再加上新商的平方。
其实这个算法的原理早在汉朝就被中国数学家解释透彻了，它依据的是完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2。
刚才算729的平方根，将这个数分成7和29两段，相当于分成700+29。先对700开平方，估算出700的平方根大于20、小于30。然后在7的上面写出平方根的十位数值2，相当于设729的平方根是20+x，进而列出方程:(20+x)2=729。用完全平方公式把方程左边展开:(20+x)2=202+x2+2×20×x=400+x2+40x=729。把常数项移到右侧:x2+40x=729-400=329。用329除以40，估出x≈8，将8代入x2+40x，得数是384，超过了329，于是退商，将估到的新商8减为7。再把7代入x2+40x，得数恰好是329。于是我们完美地解出了(20+x)2=729这个方程，得出x=7。因为(20+7)2=729，所以729的平方根就是27。
趁热打铁，我们再用同样的原理计算50625这个五位数的平方根。
还是将被开方数分段，分成5'06'25。先对5开方，得2。5减2的平方，余1，把106写在下行，让106除以(2×20)，估出新商为2。再让2乘以原商2，再乘以20，再加上2的平方，得84。让106减84，余22。这个22代表2200，2200再加被开方数的最后一段25，得2225。让2225除以(22×20)，估出又一个新商5。再让5乘以20，再乘以22，再加上5的平方，恰好等于2225。将每一步所得的商写在上面，是225，所以50625的平方根是225。
用文字叙述整个过程，既啰唆又难懂，估计很多人会看懵。如果把手算开方过程写在纸上，那就清楚多了。
早在两千多年前，中国数学家就用这种方法开平方。这种开方算法载于《九章算术》，数学史上称作“九章开方术”。