转译：Hobbyist Finds Math’s Elusive ‘Einstein’ Tile

《爱好者发现了数学中难以捉摸的“爱因斯坦瓷砖”》
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这个令人惊讶地简单的瓷砖是第一个能够填满整个平面并且不重复的单一连通瓷砖，也不能以重复的方式填充它。

为了制作这个平铺，将普通的六边形网格切成片段，然后将相邻的片段粘在一起。

“它就在我们眼前，”宾夕法尼亚州莫拉维亚大学的退休数学教授多丽丝·沙茨奇德纳说。她形容自己感到“惊讶”。自1960年代以来，数学家一直在寻找像帽子一样的瓷砖，当时Robert Berger构建了一组20,426个形状，这些形状组合起来可以无规律地铺满平面。Berger的工作引发了一场构建更小的无规律瓷砖集的竞赛，最终在1970年代，Roger Penrose发现了包含仅两个无规律瓷砖的集合。1982年，Dan Shechtman发现了类似于Penrose瓷砖中的对称性在自然界中以一种叫做准晶体的结构形式出现，这项工作使他获得了2011年的诺贝尔化学奖。

从那时起，数学家一直在尝试找到一种单一的瓷砖，可以无规律地填满二维平面，而不会有间隙或重叠。德国几何学家Ludwig Danzer开玩笑地称这样的瓷砖为“爱因斯坦”——这是德语短语“ein stein”的双关语，意思是“一块”。

在1990年代，两个团队找到了一种方法，可以将相邻的单个10边形瓷砖重叠在一起，无规律地覆盖平面。大约十年后，塔斯马尼亚的业余数学家Joan Taylor发现了一种具有多个不连通部分的形状。她和杜克大学的物理学家Joshua Socolar在2010年的一篇论文中表明，它可以无规律地铺满平面。就在去年，高级研究所的数学家Rachel Greenfeld和加州大学洛杉矶分校的Terence Tao发现了一种高维形状，可以无规律地铺满空间，甚至不需要旋转或反射。但是没有人能找到一个真正的爱因斯坦——一个简单的二维形状，可以无周期地铺砌。最终，数学家开始怀疑是否存在这样的瓷砖，Marjorie Senechal是一位铺砖研究员，也是史密斯学院的名誉教授。她说，像史密斯的帽子这样简单的爱因斯坦一直存在，这个事实让人难以置信。

她推测，帽子之所以直到现在才被发现，可能是因为许多数学家专注于具有“禁止”的对称性的形状——那些不能出现在周期铺砌中的形状。例如，彭罗斯的铺砖具有五重对称性，就像五边形和五角星中发现的那样。正则五边形无法铺砌平面，因此五重对称性是寻找不能周期的铺砌的自然选择。

一个男人在玩看起来像拼图的东西。

大卫·史密斯的发现被称为“令人难以置信”。相比之下，帽子没有对称性，是“几乎平凡的简单”，作者写道。它的平铺与特定的周期性平铺——六边形蜂窝格子有着深刻的关系。要从六边形平铺中得到帽子平铺，首先连接六边形相对边的中点。这将每个六边形分成六个“风筝形”。每个帽子由八个相邻的风筝形组成，由相邻的六边形组合而成。只需要一点点努力，任何人都可以用魔术笔和六边形平铺的浴室地板来追踪出帽子平铺。

Senechal说，帽子平铺表明周期性和非周期性平铺之间的联系比数学家意识到的要更密切。

自公告以来的几天里，数学家和平铺爱好者争相获取新的平铺，制作纸质剪纸、3D打印和制作帽子拼布和饼干。这些平铺所引发的兴奋感“有点超现实”，居住在英格兰北部海滨小镇布里德灵顿的史密斯说。“我不习惯这种事情。”

但这远非第一次业余爱好者在平铺几何学中取得重大突破。在20世纪70年代，曾在邮局工作的罗伯特·阿曼发现了彭罗斯的一组平铺。1975年，加利福尼亚州的家庭主妇玛乔丽·赖斯发现了一组新的五边形平铺。还有琼·泰勒发现的Socolar-Taylor平铺。也许业余爱好者，与数学家不同，“没有负担知道这有多难”，Senechal说。形状中的形状

从能够形成周期性平铺的瓷砖中制作非周期性平铺很容易。例如，您可以使用几个竖直的多米诺骨牌，同时用水平的多米诺骨牌填充平面。Socolar说：“真正的艺术在于找到一个形状，它可以让您平铺整个平面，但不能以周期性的方式完成。”

对于每个可能的瓷砖集合，都无法创建一个算法来确定它们是否平铺平面（更不用说它们是否是非周期性的）。因此，在史密斯告诉卡普兰有关帽子瓷砖的信息后，卡普兰转向他编写的一个程序，该程序简单地在初始种子瓷砖周围放置瓷砖的副本，形成越来越大的环。除了创建重复图案的瓷砖（具有无限多的环）外，没有人曾经发现过一种可以继续超过六个环的瓷砖。这次，程序不断地运行。在卡普兰告诉它停止之前，它用帽子填满了16个环，他认为他们有足够的数据可以使用。与此同时，令卡普兰感到震惊的是，史密斯又发现了第二个类似乌龟形状的瓷砖，也似乎是非周期性的。“识别出两个爱因斯坦背靠背的想法似乎太美好了，以至于难以置信，”研究人员写道。

到了1月中旬，史密斯和卡普兰又招募了两名研究人员：国家数学博物馆和阿肯色大学的数学家Chaim Goodman-Strauss，以及英国剑桥的软件工程师Joseph Samuel Myers，他拥有组合数学博士学位。迈尔斯开始把所有的空闲时间都用在了帽子瓷砖上，在短短一周多的时间里，他证明了它是非周期性的。“他能如此迅速地解决这个问题，我们都感到非常震惊，”卡普兰说。这个证明采用了Berger在20世纪60年代提出的一种方法，即将瓷砖拼接成更大的版本，创建一个分层结构。Myers首先确定了由帽子组成的四个中间形状，称为H、T、P和F。例如，H由四个帽子组成，拼接在一起形成一个类似于被削掉顶端的三角形的形状。Myers表明，可以组合这四种形状来制作更大的形状。例如，可以通过用三个H围绕一个T，然后用P和F的组合围绕这个对象来制作一个更大的H。

这提供了一种制作越来越大的帽子平铺的方法。您可以从H开始，增加其大小，然后用上述四种形状的组合填充它。接下来，您可以膨胀整个组装，并用H、T、P和F形状的各种组合填充（现在巨大的）H内部的所有形状。您可以无限重复这些步骤，在形状内部建立一个越来越大的层次结构。在层次结构的底层是帽子。

研究人员证明了这些分层结构创建的平铺永远不会是周期性的。他们还证明了分层结构是制作帽子平铺的唯一方法。因此，帽子平铺永远不可能是周期性的。Socolar说：“这是一个非常酷的结果。”

调整帽子大小那么史密斯找到的另一块瓷砖是乌龟。他能够找到两种不同的非周期瓷砖，这是一个惊人的巧合吗？毕竟50年来没有人发现过。帽子和乌龟的图案非常相似，让研究人员怀疑乌龟也是非周期的。但是他们的怀疑并不是证明。

然后，迈尔斯做出了一个发现，研究人员在论文中描述它为“既是一种解脱，又是一种启示”。帽子和乌龟，他意识到，属于一个无限的瓷砖家族，它们都以相同的方式铺设平面。

每个帽子有13个边：六个长边和六个对应风筝边的短边，再加上一个由两个短风筝边组成的边。通过调整这些边的长度，可以创建一个新形状的连续体。想象一个滑动条：当你向左移动它时，短边变得更短（孤立的双短边也是如此）；当你向右移动它时，长边变得更短。乌龟在帽子的右侧某处，但还有无限多个其他形状。如果你将滑块推到最左边，帽子的短边会消失，留下一个六边形的人字形；如果你将它推到最右边，长边会消失，留下一个被研究人员称之为彗星的七边形形状。与帽子不同，人字形和彗星可以周期性地平铺平面。当长边和短边相等时，滑块中心的形状也可以这样做。

但是，迈尔斯意识到他可以利用人字形和彗星的几何形状来证明滑块上所有形状都是非周期性的，除了两端和中点。卡普兰称之为“数学兔子出帽子”，这在铺砖领域是新的。在此发现之前，该领域只有三种主要方法来证明非周期性，古德曼-斯特劳斯说。现在我们有第四种方法了。

数学家们正在努力理解这种新方法。Senechal说：“我必须坐下来认真研究一下这个东西。”

Greenfeld说，一个自然的下一个问题是数学家是否能够确定新铺砖的某种来源。1981年，尼古拉斯·德布林展示了彭罗斯铺砖是周期性五维铺砖的二维阴影。“如果这些[新]铺砖的动力学或结构对应于某种高维正则铺砖，这将非常有趣，”Greenfeld说。作为一名物理学家，Socolar已经开始探索这些镶嵌图案的材料特性。他发现，如果你通过其中一个镶嵌图案照射光线，所产生的衍射图案具有研究人员在准晶体中观察到的那种尖锐峰值。即便如此，帽子镶嵌图案“在我看来与我以前见过的任何东西都不同，”他说。

与此同时，史密斯还没有完成他的“棘手小瓷砖”。他打算探索它的艺术可能性，并找出如何使用颜色来展现瓷砖所坚持的图案。“如果你喜欢的话，它似乎有一种态度，”他说。“我认为它应该受到尊重。”