继续说说翻杯子问题，看看如何通过计算求出最少翻动次数，以及对应的翻动方案。不是通过试的做法，而是通过计算来确定。

还是用那个例子：7只杯子朝上，每次翻动3只。

通过试，是可以知道怎么翻的，也能确定最少翻动次数，但还是要找到数学依据的。

比如，如果翻五次，那么有多少种不同的翻动方案呢？或许比较难试出来。

根据上一篇讲的方法，我们知道，在这个例子里，是一定可以翻到全部朝下的，而且一定是需要翻奇数次的。那怎么计算呢？

每次翻3只杯子，有4种可能：

1、三只朝上翻到三只朝下，从3个+1，变成3个 -1，也就相当于 -6的操作；

2、两只朝上一只朝下，翻完后，相当于 -2；

3、一只朝上两只朝下，翻完后，相当于 +2；

4、三只朝下，翻完后相当于 +6。

每次翻3只杯子，只有上面四种情况。

在这个例子中，因为每次翻3只，所以，第一次和最后一次，一定是 -6 操作。

从 +7到 -7，一共是 -14，去掉第一次和最后一次的两个 -6，那么中间过程的效果是 -2。

也就是说，要从+2、-2、+6、-6，这四个操作中选一个或几个的组合，形成 -2的效果。

最直接的，当然就是直接选择 -2。

那么最少次数的翻动方案就是：-6-2-6。

对应操作就是：三上到三下、二上一下到二下一上、三上到三下。

如果是翻五次，只需要中间三次的总体效果是 -2 就可以了。比如：

-6+2-2-2-6
-6+6-6-2-6
-6+2-6+2-6
。。。

注意，数字运算得出的方案，要再验证一下实际可行性，有的是需要舍弃的。

上面的做法，你看明白了吧？