对于那些不懂数学的人来说，要真正感受大自然的最深刻的美，是很困难的
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费曼：数学与物理学的关系 | 廖玮

在物理学中，我们需要巴比伦式方法，而不是欧几里得或希腊式方法。

——费曼

对于那些不懂数学的人来说，要真正感受大自然的最深刻的美，是很困难的。

——费曼

■ 编者按

本文内容为费曼于1964年所作的一个演讲，收录于《The character of physical law》一书, 本文根据英文版翻译，编译: 廖玮。

文中所说的模型大体接近于机械模型，例如麦克斯韦的以太电磁介质模型，物理学中的模型概念更加广泛，不局限于机械模型。

在思考数学和物理的应用时可以想到，当复杂的情况涉及到大量数字时，数学很自然会有用。例如，在生物学中，病毒对细菌的作用是不数学的。如果你在显微镜下观察它，一个颤动的小病毒在形状奇特的细菌上找到了一些点——它们都是形状不同的——它可能会把它的DNA推进去，也可能不会。然而，如果我们用数以百万计的细菌和病毒做实验，我们就可以通过取平均值来了解很多关于病毒的知识。我们可以用数学方法求平均值，看看病毒是否在细菌中生长，有什么新的菌株和新菌株的百分比；所以我们可以研究基因，突变等等。
再举一个简单些的例子，想象一个巨大的棋盘，一个用来下跳棋的棋盘。任何一步的实际操作都不是数学上的——或者说在数学上它非常简单。但你可以想象，在一个巨大的棋盘上有很多很多的棋子，一些对于最佳走法、好棋或坏棋的分析可以通过一种深入的推理来进行，这可能需要有人先进行深入的思考。这就变成了数学，包括抽象推理。另一个例子是计算机的交换。如果你有一个开关，要么开要么关，这没有什么数学意义，尽管数学家喜欢从这里开始他们的数学。但是由于所有的连接和连线，要弄清楚一个非常大的系统会做什么就需要数学。
我想马上说， 数学在物理学中有巨大的应用，特别在讨论复杂情况下的详细现象时，数学使实现基本的规律成为可能。如果我只讨论数学和物理的关系，我会花很多时间来讨论这个问题。但由于这是关于物理定律特性的系列讲座的一部分，我没有时间讨论在复杂情况下会发生什么，但将立即转到另一个问题，即基本定律的特性。
如果我们回到棋盘游戏，基本规则就是棋子移动的规则。数学可以应用在复杂的情况中，以找出在给定的局面下，什么走法是一个好棋。但是，在这里，基本规则的简单基本特征不需要多少数学，它们可以简单地用英语表述。
物理学的奇怪之处在于，对于基本定律，我们仍然需要数学。我会举两个例子，一个我们真的不需要数学，另一个我们需要。首先，物理学中有一个定律叫做法拉第定律，它说在电解过程中，沉积的物质量与电流和电流作用的时间成正比。这意味着沉积的物质量与通过系统的电荷成正比。这听起来很数学，但实际发生的是，穿过导线的每个电子带一个电荷。举个特别的例子，可能要沉积一个原子需要一个电子，所以沉积的原子数必然等于流动的电子数，因此与穿过导线的电荷成正比。因此，这个外表看起来数学的定律没有什么深奥的基础，不需要真正的数学知识。每个原子需要一个电子才能沉淀下来， 这是数学， 但是，我想，这不是我在这里要谈论的数学。
另一方面，以牛顿万有引力定律为例，我给你们这个方程
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以便让你们对数学符号传递信息的速度产生深刻印象。我说过力与两个物体质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，而且物体对力的反应是改变速度或者改变运动，并且改变在力的方向上，其量与力成正比、与质量成反比。这些话都是对的，我不需要把方程写出来。然而，这是一种数学，我们想知道这怎么能成为基本定律。这个星球会做什么? 它会不会观察太阳，看看离它有多远，然后决定在它内部的加法计算机上计算距离平方的倒数，然后告诉它要移动多少吗? 这当然不是对万有引力机制的解释! 你可能想要看得更远，很多人都试图看得更远。最初有人就他的理论问牛顿:“但它没有任何意义——它没有告诉我们任何东西。”他说:“理论告诉你它是如何移动的。这应该足够了。我只告诉你它是如何移动的，没有告诉你为什么这样。”但是，人们往往不满足于没有一个机制，关于这种你可能想要的机制，我将描述一个已经发明的理论中的一个。这一理论建议这种引力效应是大量作用的结果，这一理论可用以说明引力理论为什么需要是数学的。
假设世界上到处都有很多粒子，它们以很高的速度从我们身上飞过。它们从四面八方均等地飞来——只是匆匆掠过——偶尔还会轰击我们。我们和太阳对它们来说几乎是透明的，但不是完全透明的，有时会被它们击中。那么，看看会发生什么（图1）:
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图1
S是太阳，E是地球。如果太阳不在那里，粒子就会从四面八方轰击地球，少数撞击的粒子产生微小的冲击，像砰砰的响声。这不会在任何特定的方向扰动地球，因为从这边来的和从那边来的一样多，从上面来的和从下面来的一样多。然而，当太阳在那里时，从太阳那个方向来的粒子被太阳吸收了一部分，因为其中一些粒子击中了太阳而没有穿过。因此，来自太阳方向的粒子数目比来自其他方向的数目要少，因为它们遇到了一个障碍，即太阳。很容易看出，如果太阳离得越远，则在粒子可能到来的所有方向中，来自太阳方向被去掉的粒子比例就越小。太阳会显得更小——实际上与距离的平方成反比。因此，就会有一个地球向着太阳方向的冲力，该力与距离的平方成反比。这将是大量非常简单的作用的结果，即只是撞击，一个接一个从各个方向的撞击。因此，数学关系的奇异性大大降低了，因为其基本作用要比计算距离平方的倒数简单得多。这个方案是利用粒子撞击来进行计算
这个方案唯一的问题是，由于其他原因，它不起作用。每一个你创造的理论都必须根据所有可能的结果来进行分析，看看它是否能预测其他东西。这个方案确实预示了一些别的事情。如果地球在运动，从前面撞击地球的粒子会比从后面撞击地球的粒子多。(如果你在雨中跑步，雨水打在你脸前面的比打在后脑勺的要多，因为你在雨中跑步。)所以，如果地球在运动，它就会撞向向着它的粒子，远离从后面追赶它的粒子。所以从正面撞击它的粒子比从背面撞击它的粒子多，所以会有一个力反对任何运动。这种力会使地球在轨道上减速，而且肯定不会使它能保持绕太阳运行30亿年或40亿年(至少)。这个理论就讲到这里。“嗯，”你说 “这是一个很好的理论，我暂时摆脱了数学。也许我可以发明一个更好的。”也许你可以，因为没人知道最终是什么。但直到今天，从牛顿时代开始，还没有人发明出另一种理论来描述这一定律背后的数学机制，这种描述要么重复同样的事情，要么使数学更难，要么预测一些错误的现象。所以，除了数学形式，今天没有引力理论的模型。
如果这是唯一一个具有这种特性的规律， 那就有趣了，而且也让人烦恼。但事实证明，我们研究得越多，发现的规律就越多，我们对大自然的了解越深，这种疾病就越顽固。我们的每一条定律都是相当复杂而深奥的数学表述。牛顿关于万有引力定律的陈述是相对简单的数学。随着我们的深入，它会变得越来越深奥，越来越困难。为什么? 我一点也不知道。我在这里的目的只是要告诉你们这个事实。这次讲座的责任只是要强调这样一个事实: 如果没有对数学的深入理解，就不可能用人们能感受到的方式诚实地解释自然规律的美。我很抱歉，但情况似乎就是这样。
你可能会说，‘好吧，如果没有对于规律的解释，至少告诉我规律是什么。为什么不用文字代替符号告诉我呢? 数学只是一种语言，我希望能够翻译这种语言。”事实上，只要有耐心，我就能做到，我想我在一定程度上做到了。我可以进一步更详细地解释，这个方程意味着，如果距离是两倍，则力是四分之一，以此类推。我可以把所有的符号转换成文字。换句话说，当外行们都坐在那里满怀希望地等着我解释一些事情时，我可以友好地对待他们。不同的人因为其用外行的语言向外行解释这些困难而深奥问题的技能而有不同的名声。外行会一本书接一本书地寻找，希望能够避免最终出现的复杂问题，即使有了最好的解释者也不例外。当他读下去的时候，他发现自己越来越困惑，一个又一个复杂的陈述，一个又一个难以理解的东西，所有这些显然都是彼此无关的。事情变得模糊，他希望也许在其他一些书中会有一些解释.......这个作者还差一点——也许另一个作者会说对。
但我不认为这是可能的，因为数学不仅仅是另一种语言。数学是一种加上推理的语言; 它就像语言加上逻辑。数学是推理的工具。事实上，它是一些人仔细思考和推理的结果的一个大汇总。从数学上讲，可以把两种陈述联系起来。例如，我可以说这个力是指向太阳的。我还可以告诉你，就像我做的那样，行星的运动是这样的，如果我画一条从太阳到行星的线，然后在某个特定的时期，比如三周后，再画一条线，那么行星围绕太阳旋转时扫过的面积严格等于它在接下来的三周内扫过的面积， 以及在再接下来的三周内扫过的面积，等等。我可以仔细地解释这两种说法，但我不能解释为什么它们都是一样的。自然界表面上的巨大复杂性，以及它所有的每一个都已经仔细地向你解释过的有趣的法则和规则，实际上是非常紧密地交织在一起的。然而，如果你不懂得数学，你就看不出逻辑允许你在千变万化的事实中从一个到达另一个。
令人难以置信的是，我可以证明，如果力指向太阳，在相等时间内将扫出相等的面积。如果可以的话，我将做一个演示来向你们展示这两件事是等价的，这样你们就能欣赏到这不仅仅是关于两个定律的陈述。我要证明这两个定律是联系在一起的，所以仅仅是推理就能把你从一个引向另一个，而数学就是有组织的推理。然后你就会欣赏到这些陈述之间的关系的美。我要证明这个关系，即如果力指向太阳，在相等时间内将扫出相等的面积。
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图2
我们从一个太阳和一个行星(图2)开始， 我们想象在某一时刻， 行星位于位置1。它以这样的方式移动，比如说，一秒钟后它移动到位置2。如果太阳没有对地球施加一个力，那么，根据伽利略的惯性原理，它会沿着一条直线继续运动。所以在相同的时间间隔后，下一秒，它会在同一条直线上移动相同的距离，到位置3。首先我们要证明，如果没有力，那么在相等时间内将扫出相等的面积。我要提醒大家三角形的面积是底的一半乘以高度， 高度就是到底的垂直距离。如果三角形是钝角(图3)， 那么高度是垂直高度AD，底是BC。现在让我们比较一下如果太阳不施加任何力时将被扫出的面积(图2)。
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图3
记住，1-2距离和2-3距离是相等的。问题是， 这两个面积相等吗? 考虑由太阳和点1和2组成的三角形。它的面积是多少? 它是以1-2为底，乘以从基线到S的垂线高度的一半。另一个三角形呢，从2运动到3的三角形? 它的面积是底2-3乘以到S的垂线高度的一半。这两个三角形高度相同，而且，正如我指出的，底相同，因此它们的面积相同。到目前为止一切顺利。如果没有来自太阳的力，在相同时间内将会扫出相同的面积。但是有一种来自太阳的力。在间隔1-2-3期间，太阳在不同的方向上拉动并改变运动。为了得到一个很好的近似值，我们将取2处为中心位置或平均位置，并假设在间隔1-3期间的整个效果是在直线2-S方向上以一定的数量改变运动(图4)。
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图4
这意味着，虽然质点在直线1-2上运动，而且如果没有力，会在下一秒继续在同一直线上运动，但由于太阳的影响，它们的运动被一个与直线2-S方向平行的戳动一下的量所改变。因此，下一个运动是行星想要做的事和太阳作用引起的变化的复合。所以行星最终不是在位置3，而是在位置4。现在我们要比较三角形23S和24S的面积，我将向你们展示它们是相等的。它们有相同底S-2。它们的高度相同吗? 当然，因为它们包含在两条平行线之间。4到直线S-2的距离等于3到S-2延伸直线的距离。因此三角形S24的面积等于三角形S23的面积。我之前证明了S12和S23的面积相等，所以我们现在知道S12 = S24。所以，在行星的实际轨道运动中第一秒和第二秒扫过的面积是相等的。因此，通过推理，我们可以看到力朝向太阳的这一事实与面积相等这一事实之间的联系。这不是很巧妙吗? 这些我是直接从牛顿那里借来的。它直接来自于《原理》，包括图等等。只有字母不同，因为他是用拉丁文写的，而这些是阿拉伯数字。