卡住牛津大学数学老师的德国高中题硬解：题目是两个半径为 5 球心分别为 （1,2,3）与（-3，-2,1）的球面，请证明两球面交截线为圆，并计算出圆心与半径。Crawford 博士的解法堂堂正正，计算出截线的方程，{ z = -2(x+y), 5x^2+ 5y^2+8xy +10x +8y -11=0 }。然后就卡住了。旁观者清，这个题不要用解析几何，考虑对称性，心算都能算出结果，圆心是（-1,0,2）、半径是4。Crawford 的方法可以用于任何曲面。在这个问题里，如果按照他的思路，继续怎么硬算。

这个 5x^2+ 5y^2+8xy +10x +8y -11=0 是交截线的投影。既然是2次，那么它是一个圆锥截线，但从这个方程一时也看不出是一个椭圆。为此，我们采取如下步骤，先是通过坐标平移消去一次项，然后进行旋转消去交叉项。

令 x = u + h, y = v + k, 代入，一次项为 10 h u + 10 kv +8ku + 8hv +10 u + 8v, 因此
10h + 8k +10 =0, 8 h +10k +8 =0, 得到 {h=-1, k=0}。原方程变成
5 u^2 + 8 uv + 5 v^2 -16=0
现在进行一次旋转来消去 uv 项， 令 u = c x' - s y‘，v = s x' + c y'，其中 c,s 分别为角度的 cos 与sin 值
x'y' 项 系数为 - 10 c s + 10 s c + 8(c^2 - s^2) ， 令它等于0，由此得出 c^2=s^2=1/2。这会有两个解，但这是对的，椭圆有两种方式可以转正。代入 c=s = sqrt(1/2) 到 5 u^2 + 8 uv + 5 v^2 -16=0， 得到
5 x'^2 + 5y'^2 + 8 x'^2 - 8 y'^2 + 5x'^2 + 5y'^2 -32 =0 或
9 x'^2 + y'^2 =16

这是一个长轴半径 为4， 短轴半为 4/3 的椭圆。

从对称性我们知道交截线必然是圆，圆的投影是椭圆。我们终于得到交截线的半径是 4。而且我们知道圆心坐标 x、y 坐标是（-1,0），z 坐标呢？留给读者继续吧。

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