#今天要来点数学吗?#

@横越时间海 在下面的链接里有个遗留的问题：（按角度）arctan(0.5)=26.565051177….是无理数吗？

因为Π相当于180°，一个角度的数值如为非0有理数，则必然可以写成 mΠ/n 的形式。其中m和n为互素的整数。

我们有下面一般的结论：

关于有理数角度的三角函数数值的算术性质，有理角度的正余弦值除了0、±1/2及±1之外全部都是无理数，正切值除了0、±1之外全部都是无理数。

按上面的结论，tanx=0.5，则x肯定不是有理角度。

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简要证明上述结论。

借助复数计算n次幂，（cosx+isinx）^n=cosnx+isinx。把左边式子展开，可以得到cosnx关于cosx和sin^2x的整系数多项式,。（如左图）

如果令cosx=y，则sin^2=1-y^2。可把下图多项式以单系数F（y）表示。

如果x=mΠ/n，则cos（nx）=1或-1。代入到多项式里便得到方程F（y）±1=0（两个方程，依据情况使其中一个成立）。同时展开整理后可以发现，方程F（y）±1=0最高项系数是2的幂，常数项根据 n mod4的值（0，1，2，3），分别为2，1，0，-1。

cosx=p/q=x。根据著名的有理根定理（右图），当n≠2 mod4 时，方程的有理解只能有y=cosx=±1/2^k,这种形式。

另一方面，因为cos2nx=cos（2mΠ）=1，所以y=cos2x也是F（y）-1的根。

所以cos2x也形如±1/2^k，但cos2x=2cos^2x-1。所以k只可能为0和1。

当n=2 mod4 时，则2x=2m/n，化简之后分母变成了奇数，进而可沿用上面的结论。

sinx=cos（90°-x），所以sinx也满足上面的结论。亦即有理角度的正余弦值仅有0、±1/2及±1这几种可能。

又sin2x=2tanx/（1+tan^2(x)）,cos2x=（1-tan^2(x)）/（1+tan^2(x)）。所以如果有某个有理数角度x，使tanx=有理数，则此时sin2x和cos2x也必然是有理数。但是根据上面的正余弦的结论，此时只能tanx=±1。

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