#今天要来点数学吗?##代数拓扑学#

如下面的视频，握住一个装满啤酒的杯子，在不松手也不洒的前提下，必须让杯旋转两圈才能让手、胳膊和酒杯回复原状。

方法：

伸出手向前反手握住咖啡杯，然后逐渐向胸前旋转，从腋下穿过，这是第一圈。此时咖啡杯转完了一圈，但胳膊已经扭曲成了奇怪的形状。这时将胳膊抬高，从头顶再转过第二圈，才能让一切复原。（如果打算亲自尝试，建议用空杯，以免灌自己一脖子水。）

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解释：

实际上我们的手+杯子的旋转运动被称为旋转群SO（3）。

旋转群SO（3）表示三维欧几里得空间中所有保持向量长度和方向不变的线性变换的集合。SO（3）有三个自由度，也就是说，任何一个旋转都可以用三个参数来确定。它有很多重要的性质和应用，例如在物理学中描述刚体运动、在计算机视觉中表示相机姿态、在机器人学中控制机器人姿态等等。

另一方面，SO（3）是李群，而李群都是拓扑学里的光滑流形。用通俗不严谨的说法，我们让手臂-杯子系统复原，类似于在这个流形里画一个圆（回到起点）。但是在代数拓扑学里，在相应的结构里画圆“等同于”计算这个结构的**基本群**。

SO（3）的基本群相当于二进制加法（实际上是ℤ/2ℤ），就是0/1加法：1+0=1，1+1=0，0+0=0.

群元素0是平凡的操作——保持不动，群元素1代表（杯子）转一圈。

所以，杯子转了两圈，系统整体才能复原。至于说为何杯子的转动操作对应基本群元素，那就是另一个问题了。 http://t.cn/A6WAIJ9V