#今天要来点数学吗?##挂谷问题# 草稿

1917年，日本数学家挂谷宗一（(Soichi Kakeya,1886-1947)）提出了被后世以他的姓氏挂谷命名的著名问题：

在某些图形中，长度为1个单位的线段（一根针）可以转过180°，在这个过程中该线段总是保持在该图形之内，在所有这样图形里，哪种图形具有最小面积？

需要注意的是，沿着线段方向前后移动，此时线段并未扫过任何面积。

据说，挂谷的灵感来自于遭到偷袭的武士；当武士如厕时，因为空间狭小，他无法自如地旋转长刀。

一个半径为0.5的半圆是一个容易想到的可满足条件的图形，但它显然不是所有满足条件的图形里面积最小者。

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巧合的是，同样在1917年，数学家艾伯拉姆·贝西科维奇Abram Besicovitch解
决了他自己的一个看似不同的问题。又过了好几年，贝西科维奇才知道了挂谷的那个具有“引人入胜的简单性"的问题，并且提供了一个完全不同寻常、完全出人意料的解答。

此外，1919年，极有才华和抱负的匈牙利籍犹太人朱利尔斯·鲍尔（Julius Pal）最终从他的祖国匈牙利的波兹索尼迁居到了丹麦的哥本哈根，当时匈牙利的局势已经十分险恶。他在丹麦找到了职位，能够继续开展自己的研究。哈罗德·玻尔（物理学家、量子三元老的尼尔斯·波尔之弟）是一位有影响力的资助人，也是鲍尔与另一位主角贝西科维奇。

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挂谷和他的同事以及其他一些人都立即推测，一个高为1的等边三角形就是具有最小面积的能满足条件的凸形。可能是玻尔把这个推测告诉了鲍尔，后者在1921年发表了证明，确认高为1的等边三角形就是满足挂谷条件的面积最小的凸形。

因此，挂谷问题暂时平息了下来。而它的非凸形式仍然悬而未决。有些数学家猜测，答案指向了三尖瓣线，它是内摆线家族中的一个特殊成员。（见下图）

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把这个故事继续下去。来自俄罗斯的贝西科维奇曾是彼尔姆市的骄傲，这里的大学以拥有维诺格拉多夫（Vinogradov）、弗里德曼（Friedman）和他这三位教授而自豪。他于1924年来到了哥本哈根，也是借助了玻尔相当大的、有影响力的帮助。他从哥本哈根又去了利物浦（这次是在伟大的哈代帮助下），然后抵达剑桥，他的余生都在那里度过。1950年，他接任了李特尔伍德的享有盛名（冠名）教授席位。

回到1917年，贝西科维奇当时在思考下面的问题：

假如在平面上有一个黎曼可积的函数f，那么是否必定存在着一个直角坐标系（x，y），使得对于每一个固定的Y，f（x，y）作为以x为变量的函数黎曼可积，并且f的二维积分就等于累积分∫∫f（x，y）dxdy？

我们在这里先不关心这个问题的背景。在我们的故事里唯一重要的是，他为了回答上述问题，构建了这样一个集合：一个包含了指向所有方向的单位线段，但面积为0的图形（线段的集合）。这个集合被命名为Besicovitch集。

贝西科维奇之前从未听说过挂谷，也就必定没有听说过他的问题。直到逃到西方以后，他才逐渐得知了这个问题。

贝西科维奇用构造Besicovitch集的方法。想象一个高为1的等边三角形（还记得这种三角形是最小的满足挂谷条件的凸形吗），把它平分，再把两个直角三角形稍微叠在一起，如下右图。这个新图形面积比三角形小，但是在其中，属于 [-120°,-60°] 的每个角都能找出边长 ≥1 的线段。

现在重新开始，把三角形平均分为 8 个，把它们两两叠在一起，再两两叠在一起，这种图形就叫做 Perron树。如果我们重复这个步骤，把三角形分为 16 个、32 个、……、 2 n 个，显然整个图形的面积可以越来越小，并且可以证明图形面积无限趋近于0。

把 3 个Perron树分别旋转 0°，120°，240° 并叠在一起，可以看到，最后的图形在每个角上都有边长 ≥1 的线段，这也就是说它是一个贝西科维奇集，并且面积任意小。