#今天要来点数学吗?##行列式# 高斯的鞋带公式

鞋带公式Shoelace formula，又称高斯面积公式和测量师公式，是一种确定简单多边形面积的数学算法，该多边形的顶点由其在平面上的直角坐标描述。之所以称为鞋带公式，是因为构成多边形的坐标不断交叉相乘，就像穿鞋带一样。见下左图（蓝色表示相乘之后结果前的符号+，红色表示乘积前面加上-号）。它在测量和林业等领域都有应用。

简单多边形是若干直线段首尾相连获得的直线形，同时线段之间除了顶点之外不能有其它的交点。如中图。

它本质上体现的是顶点坐标行列式与可剖分成小三角形的简单多边形的面积之间的关系。在三个坐标点的情况下，立刻退化成经典的三角形面积坐标行列式。但是鞋带公式似乎便于记忆。

我们可以用游老师今天分享的小题演示一下鞋带公式的用法。（http://t.cn/A6W8nJLv）

如右图，不妨设红色三角形左下角为原点，边长为1。圆半径为r，我们希望揭示，r的大小和红色三角形面积无关。

按逆时针（推荐用逆时针，否则最后结果是负的）三个坐标为（0，0），（1+r，r）和（1，1）。

利用鞋带公式，0*r-（1+r）*0+（1+r）*1-1*r+1*0-0*1=2*红色三角形面积==》三角形面积=0.5

其它顶点更多的简单多边形，简单沿用上面的公式一样可以计算。