#今天要来点数学吗?##平面几何# #数论[超话]# 与 residue design

之前转过一个利用圆周上的弦形成的直线族包络面作画的视频（http://t.cn/A6WDeo13），这个要用到一个专门的算法，可以根据目标图像计算出需要连接圆周上哪些点对。

如果借助同样的工具，但是仅遵循一个简单的数学规则，也可以生成有趣的图像。

这个就叫做residue design。目前还没有正式的翻译，要是听我的就应该把它翻译成”剩余设计“。这里的剩余是剩余类的意思。

标准的剩余设计：在一个圆上均匀分布n个点，把点按顺/逆时针标从0标到n-1。然后用线段连接点k和a*k （mod n）的点，其中a是一个固定的整数。这些线段的包络线在大多数情况下将构成一种叫做外摆线的曲线。见下面的视频。

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假设有一个定圆，若有另一个半径是第一个圆半径1/n倍，第二个圆在第一个圆周上滚动，则小圆上的一定点在滚动时划出的轨迹就是一条外摆线。如心形线，肾形线和三叶线都是外摆线。
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长久以来，似乎无人考虑过下面的问题：在一个标准的剩余设计里，所有弦的长度之和是多少。凭直觉，大家都以为会是一个很复杂，且和具体的形态有关的非常不具备统一的形式美感的数值。

直到昨天。

美国数学家David S. Richeson，其兴趣包括动力系统的拓扑，娱乐数学和数学史。他是迪金森学院（Dickinson College）的数学教授。他是著名的数学类作者，为诸如连线、量子等电子刊物撰写评论文章。

Richeson在用绘图工具画residue design的时候，出于好奇，还加入了一个计算弦长之和的函数。结果他意外发现了一个规律。

Richeson随后证明，当a-1和n互质时，剩余设计中所有线段的长度之和有一个惊人的封闭公式，即 2rcot(π​/2n)，其中r是圆的半径。（对，结论和a无关）

这个公式堪称是一种结合了数论和几何的艺术创作方式。有兴趣的可以自己证明看看。本质上不难，之前竟然没人发现。

论文 http://t.cn/A6WDeo11 http://t.cn/A6WDe9RI