#今天要来点数学吗?# 从#代数拓扑#到#度量几何# ，从#欧拉公式# 到#欧拉示性数#

前两天的#每日一题# http://t.cn/A6YqiSKn 问

能把一个正方形分成三个全等的部分，同时每个部分都是非凸的图形吗？

似乎很难[允悲]

不过这里的分割还是从几何角度上来的。比如说，把数轴上的线段闭区间[0，1]分割成全等的两部分。在几何上显而易见，就是从中间分成两个线段。

但是，注意了，如果考虑线段上的点，则这个全等就不简单了。如果从中间一份两段，那最中间的点0.5，属于两个线段里的谁呢？如此一来，[0，0.5)和[0.5，1],一个半开半闭，一个是闭区间，看起来就不那么全等了。

甚至我们可以把这一思路推广到二维，分割正方形和圆盘为两部分，如果用最简单的一分为二的方法，那么对称中心（对于圆盘就是圆心）就会存在一个归属问题。如果能够解决这种归属问题，把正方形分解成两个在集合和几何度量意义上都全等的集，我们把这种全等姑且称作集合论意义上的全等。

当然，也许存在一个非常复杂的分割方法。毕竟我们仅仅是要求分成两个全等的部分，但是没有说是两部分都是连续的，完整的。也许可以类似分形一样，存在一个把线段、正方形和圆盘分割成集合上的全等的方法？

这个问题的和著名的欧拉公式相关。

对于三维空间里的凸多面体，欧拉发现了如下关系：

V、E、F 分别表示顶点、边和面的数量

V-E+F=2……著名的欧拉公式。据说笛卡尔就掌握了这一公式，但不为人所知。

而对于一般的n维空间的复合形（相当于多面体的推广）

可以定义一个重要的特征，欧拉示性数

𝜒=V（点0维）-E（线1维）+F（面2维）-三维空间胞腔个数（就是“体”）+四维空间胞腔个数-五维……+（-1）^n*n维空间胞腔个数

比如说，对于直线段，只有两个端点，一条线，至于二维的面，三维的体，乃至以上的结构数目都是0，所以线段的𝜒=2-1=1。类似地，正方形的𝜒=4-4+1=1。它们的欧拉示性数都是1。欧拉示性数是一个拓扑不变量，也就是拓扑变形不会改变这个𝜒。

拓扑学又叫橡皮泥几何学，就是说拓扑对象都像橡皮泥一样可以变形。显然，正方形可以很容易地变成圆形。所以我们说，正方形和圆形是拓扑同胚的，它们拥有一样的欧拉示性数。

接下来就是今天的定理：

欧式空间里，所有欧拉示性数为奇数的有界闭集，都无法在集合论意义上分成全等的两部分！

所以，线段，正方形和圆盘，都无法分成集合意义上全等的两部分。这一事实本质上源于莱夫谢茨不动点定理。