一个关于圆的切割线的等式(1)
大罕

如图1，从圆O外的点A、C引切线AB、CD，切点为B、D，若AD与BC的交点E在圆O上，AB=8，CD=5，则AC=_____．

此题图形优美，数字简单，看到的人都喜欢试解一下．可是试的结果是铩羽而归．奇怪！

此题并非等闲之辈．请看它一般形式：
【切割线等式】从圆O外的点A、C引切线AB、CD，切点为B、D，若AD与BC的交点在圆O上，则AC²=AB²+CD²-AB×CD．

【证明】 如图2，设AC=x，CD=y，AB=z，本题即证明：x²=y²+z²- yz．
又设BD=c，∠CBD=∠ADC=α，∠ABC=∠ADC= β，
以下用三角法证明之．(因此处不支持公式编辑器，故详见附图3. )
在图1中，把x=8，y=5代入，则AC²=64+25-40＝49，∴AC=7．

【点评】三角法证明的关键是运用正弦定理、余弦定理时坚定不移的信念，驾驭三角函数式子火线突击的战斗精神，以及果断令等式成立，然后敏锐搜索蛛丝马迹的顽强意志。这正是：
正弦余弦坚不移，
负荷辎重跨涧溪。
等价变换时空转，
细辨蛛丝识马迹。

【参考资料】金磊几何，一个有趣的切割线恒等式，2024-01-15