#京城大师赛[超话]#

假面舞会的简易博弈分析：

规则简化: 假面无法查验一名玩家是否在舞池，可以连续两晚赐予同一个玩家面具

假设：1. 明牌，即所有人身份都已知，2. 白天公布昨夜舞池信息，3. 白天必投号码最小的狼人，狼人推完后投假面

均衡分析：

在舞者和假面的博弈中，由于双方都无法采取必胜的确定纯策略来完全压制对手，所以他们需要寻求一种最优的混合随机策略。这种最优混合随机策略的特点是，即使对手事先完全获知了该策略并作出最佳反应,自己的期望收益也不会比目前状态更差。也就是说，通过采取这一策略，自己至少可以确保对手无法占据优势地位。如果双方都实行这种策略，那么他们就处在均衡中。

*注：该理论分析对规则和场景做了很多简化，与真实游戏有很多差距，考虑到各种复杂情况，没有什么操作是游戏中应该做的，玩家可以自由选择任意自己偏好的策略。

例子：
入夜前存活玩家数量：
1假面，1狼人，1舞者，1预言家，1白痴 ，3平民
3神已经进入过舞池

这是一个比较特殊的例子，只剩五个玩家没有进过舞池，因此今晚就是最后一舞，该舞也将决定最终的胜负。

由于狼刀落后，且神职已经都进过舞池，狼人想赢只能通过今晚杀死两个平民。因此，狼刀必须在平民身上。假面不需要扣狼或自己，因为这样最多保护狼人阵营不被扣死，没有任何攻击性。剔除了必败的无意义行动，剩余操作如下：

狼人：刀平民（如平民1）
舞者操作：3民，1狼1假面1民，2民1狼/假面
假面操作：扣平民1，扣另一个平民，不扣（这里不需要假面和狼人见面，只需要他们之前就设计好配合的策略即可）。

考虑舞者和假面、狼刀所有可能的有意义行动，可以绘制出附图所示的游戏树和矩阵。在游戏树中，边代表玩家可能的行动，结点代表游戏的结点。虚线框住的地方代表狼人阵营无法区分这些节点。这是因为狼人阵营在行动时，无法得知舞池的信息。游戏树作为示意未绘制完全。

图中的矩阵展现了不同操作下狼人胜利概率。例如如果狼刀平民1，假面扣平民1，舞者选择舞2民1假面。那么平民1必死，舞者一旦选到平民1进舞池，一定会死另一个平民（概率：2/3），但是如果平民1不在舞池，假面的操作无效，只有平民1死亡，好人胜利（概率：1/3）。因此，狼人胜利概率为⅔。

在这个博弈里，舞者和假面都无法利用确定的操作完全压制对方，舞者想要获得尽可能高的期望收益,而假面则希望把舞者的期望收益控制在尽可能低的水平。

舞者可以采取的是一种最优随机策略,即:
1. 首先假设假面会做出最优反应,即尽量降低舞者的期望收益。
2. 在这种最坏情况下,舞者选择一种能让自己期望收益最大化的随机策略。

例如在剪刀石头布里，玩家最优的随机混合策略就是等概率出剪刀石头布。

在这个特殊例子下，经过计算，舞者在均衡处的策略为以1/4的几率舞3民，以3/4的几率舞2民一狼。而假面在均衡处的策略为以1/2几率扣狼刀的平民，以1/2几率扣另外的平民。

在这个例子里，均衡处两方的胜率相等。如果舞者或假面偏移了均衡策略，就可能会让对方占优势。

考虑广义情况下的多轮博弈（见附图2），可以计算一个策略，使得其在每个子游戏节点上都是均衡策略。这里就需要通过代码来迭代计算了。

其它附图是一些代码结果（暂时还没有跑过很多测试例, 有可能有错......)。每张图对应一个入夜状态和该状态下舞者/女巫和假面/狼人的最优随机策略。描述状态时，如果玩家下方有下划线，代表该玩家已进过舞池。结果中显示的好人收益 = 均衡处好人的胜率 - 狼人的胜率。最优混合随机策略不唯一，代码只显示其中一种。由于代码考虑的规则和假设与真实情况不符合，且真实博弈过程中，对手也不一定理性，因此代码推荐策略仅供参考。如果是针对女巫已走的状态，策略中会显示女巫不使用毒药。

相关代码在通过一些测试例检查后会公布，假面舞会确实是一个很有意思的板子，分析起来也很有趣味。谢谢创造、修改和玩这个板子的所有人。如果后面有时间，会考虑标准规则，还有不完全明牌下的博弈分析。未来希望有人可以通过代码辅助设计更多有意思的板子。