#今天要来点数学吗？##加性组合# 与#椭圆曲线# 的两项重大进展

（一）

在加性组合领域，James Leng、Ashwin Sah，Mehtaab Sawhney改进了Szemerédi's Theorem的下界。

由于Szemerédi's Theorem是现代加性组合学的核心工具，所以对它的改良都会带来丰富的成果。

该定理断言，对于每个正实数c和每个正整数k，都有某个n，使得如果A是大小至少为 c*n 的 {1,2,...n} 的任何子集，那么A一定包含长度为 k 的算术级数。

这就留下了n需要多大的问题。菲尔兹奖得主T.Gowers曾在 1998年证明，只要n大于 2^2^(1/c)^2^2^{k+9}（其中 a^b^c 表示 a^(b^c)）就足够了。对于 k > 5 的情况，直到今天才有所改进。(k=5 的记录最近被同一作者打破了）

最新的下界是 2^2^(log(1/c))^C，其中 C 是某个只取决于 k 的常数。对于小 c，这是一个很大的改进——用 log(1/c) 取代了 (1/c)。

利刃在手，论文作者立刻使用加强后的Szemerédi's Theorem改进陶哲轩等人的著名定理小试牛刀。

http://t.cn/A6YuEVsh

（二）

机器学习带着有趣的东西来到我们家门口只是时间问题。

————解析数论领域顶级权威Peter Sarnak

椭圆曲线是现代数学中非常重要的对象，虽然它们的表达式不过是二元三次方程（如图一），但它们是现代密码学的重要工具，也是数学最前沿的课题——怀尔斯证明费马大定理，本质上是证明椭圆曲线具有某种非常成熟的性质。

椭圆曲线有一个关键的参数叫做秩，它决定了曲线上有理数解的个数和结构。秩很难计算，而且数学家们还不知道它的上界的增长速度。根据在最早的计算机上进行的大量计算，伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想出了椭圆曲线的秩和序列 ap 之间的关系。谁能证明他们是对的，谁就能赢得一百万美元和数学史上的不朽名声。这就是千禧年7大百万问题之一的BSD猜想。

一组计算机研究员利用人工智能和大量的数据，利用机器学习分析大量椭圆曲线的性质。一开始本来是算着玩——毕竟他们对纯数学的东西知之甚少，而椭圆曲线又是如此深刻的内容。

但意外地，他们发现了椭圆曲线和其他数学对象的一种统计规律。

他们称之为“鸟群”（murmurations），因为它们的形状类似于成群飞翔的鸟类。Starlings' murmuration是指成千上万的椋鸟聚集在一起，以惊人的协调和同步在空中飞舞的现象。

这种规律表现在椭圆曲线的一个序列ap 上，它反映了曲线在不同的素数域上的解的个数。当按照conductor对曲线进行分类和平均时，不同秩的曲线的 ap 序列会形成不同的波形，从而可以用来预测曲线的秩（图二）。

这种“鸟群”现象一开始让数学家们感到惊讶，因为它没有被人注意到或解释过。如视频，不过他们没有必要的能力解释这一现象。

后来，在读研究生Nina Zubrilina（图三）利用复杂的数学工具，发现了“鸟群”现象的原因，并给出了一些精确的公式来描述它。

可以称之为Zubrilina震荡密度公式。她用非常复杂的数学方法证明了一个完全符合数据的精确公式。

这些公式揭示了一些新的数学函数，类似于物理中常见的 Airy 函数。这些公式也可以推广到更一般的 L -函数上，L -函数是一类无穷级数，和椭圆曲线有密切的联系。

——————

Airy 函数是一种特殊函数，它是以下微分方程的解：y′′−xy=0。
这个方程叫做 Airy 方程或 Stokes 方程，它在物理学中描述了一些具有转折点的现象，比如光的衍射、水波的传播、原子的能级等。