#今天要来点数学吗?##离散几何# 与#分形# 和#调和分析#

在平面上摆放若干点，如果希望它们任意两者之间的距离都一样，则点最多可以有几个？

答案是3个。组成正三角形。四个点的话，最好的结果也就是正方形，构造出两个不同的距离：边长和对角线长度。下图有4个点，8个点和12个点所能达到的距离数目最小的摆放方式。

那么，对于一般的n个点，我们可以预期的最少的距离数值个数是？

上面的问题叫Erdos distinct distance problem。

去年这个时候，我分享火腿三明治定理（http://t.cn/A6TosNhk）时，提及13年前，Larry Guth 和Nets Hawk Katz，把火腿三明治定理定理推广到多项式的形式，（基本上）解决了Erdos distinct distance problem。

他们证明，如果在平面上有n个点，则所有点之间的距离数值至少有c*n/logn个。几乎是理论上的最佳结果

注意，如升到三维空间，则四个点可以组成正四面体，同样仅生成一个距离数值。这也显示了维度越高，可以容纳的等距离的点也就越多。

而在高维情况，这个问题还open。

但是除了升维之外，我们还可以把有限的n个点，扩展到无限多个点的情况。

这就是今年至今的最新的数学进展之一——Falconer猜想的重大突破。http://t.cn/A6TosNhD

苏格兰圣安德鲁斯大学的数学家Kenneth Falconer把无限点集里所有可能的距离与维度联系在了一起。

若干点，每两个之间有一个距离，而距离是一个实数，也就是数轴上的一个点。现在问，无限多个点构造的所有可能的距离，这些数轴上的数值点合在一起是否拥有非0的长度呢？（专业点说，叫正的勒贝格测度。）

{无限个点}—》{任意两点所有的距离数值}占据数轴上的位置点。前后的点指代不同。

单单无限个点本身，并不构成非0的长度。比如说有理数，每个点的长度都是0，而它们在数轴上分布太稀疏，加在一起还是0。

用长度来思考，提供了一种表征无限多点之间不同距离集的大小的方法。如果距离个数“小”，则意味着距离数值点集的长度为零：有很多重复的距离。另一方面，如果距离集的度量大于零，则意味着存在许多不同的距离。

Falconer最先意识到，对于分形维数大于1的所有点集，距离数值点集都有非0长度。这被称为Falconer猜想。Falconer的猜想可扩展到三个或更多维度：对于散射在d维空间中的点，它指出，如果点的分形维数大于d/2，则距离数值点集的长度必须大于0。

在二维空间中，Falconer率先证明了任何分形维数大于1.5的点集都具有非零长度的距离数值点集。但那已经是1985年的事了。

再次突破就是2018年，对于二维中所有分形维数大于5/4的点集，猜想成立。

然后是2022年和2023年，爆发式地推进了结论。根据上面链接里的论文，在更高的维度上，确保距离点集的长度非0的分形维度的阈值略小于（d/2 + 1/4）。

这也是第一次高维度的界优于平面上的结果。

用于视频演示的是Sierpinski triangle，谢尔宾斯基三角形。它有不同的构造方法。其分形维度≈1.5，所以构成它的点集，每两个点之间的距离的数值集合在数轴上是有长度的。