“不像高考题”的高考题
大罕

2024年全国高考乙卷第14题，它似乎在考查排列组合知识，其实关系不大，主要靠分析综合完成题目，“不像高考题”．但思维含金量是足够的，所以是货真价实的高考题．

【题目】在下图的 4×4 方格表中有4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有____种选法；在符合上述要求的选法中，选中方格中的四个数之和的最大值是_____．
11 21 31 40
12 22 33 42
13 22 33 43
15 24 34 44

【详解】记4×4方格表中的数组成一个4行4列的数阵，并称之为“原数阵”.
⑴在第一行任选一个数的方法有4种. 一旦选定，那么该数所在列的数就不能再选了，于是第二行有3种方法，同理，第三、四行只有2、1种方法，由乘法原理，共有4×3×2×1＝24种选法.

⑵ 为了寻找规律，我们把原数阵改成等差数阵，满足：第1行第1列的数为11，从行来看是公差为10的等差数列，从列来看是公差为1的等差数列，即：
11 21 31 41
12 22 32 42
13 23 33 43
14 24 34 44
我们称上述数阵为“标准数阵”.
从“标准数阵”的不同行和不同列任取一个数，共有4个数，这4个数的个位数和十位数显然均为1,2,3,4 .那么，这四个数之和恒为
(1+2+3+4)×10+(1+2+3+4)=110. 参见图2.

相比之下，原数阵与标准数阵恰有四个数不同，即第4行第1列的15，第3行第2列的22，第2行第3列的32，第1行第4列的40，
为了使取出来的4个数之和最大，我们采用如下原则，比如以列为线索，在原数阵中取出的数应该是有“贡献”的（比标准数阵相应的数要大），否则就选那个能“保本”的（就用标准数阵相应的数）．开始选取如下：
第1列，选取15，它的贡献为1；
第4列，选取43，它是保本的；
第3列，选取33，它的贡献为1，
第2列，选取21，它是保本的，
而且这种选法是唯一最佳的，
所以4个数之和的最大值为15+43+33+21＝112.