用构造法求范围的一例
大罕

函数值域是指函数值的取值范围．求不同对象取值范围有不同的方法．有的题目若用代数法推算，则过于冗繁，但用几何法，则变得轻松易行．下面就是一例．

【题目】求函数
y=√(x^2-6x+13)-√(x^2+4x+5) 的值域.
【解】把函数式变形为
y=√[(x-3)^2+(0-2)^2]-√[(x+2)^2+(0-1)^2]，
设P(x,0)，A(3,2)，B(-2,1)，
则原函数为y=|PA|-|PB|，
设直线AB交x轴于点C，
⑴当P与C重合时，|PA|-|PB|=|AB|=√26，
⑵当P异于C时，
在△PAB中，||PA|-|PB||<|AB|=√26，
∴-√26<|PA|-|PB|<√26，如图1，
综上，-√26<|PA|-|PB|≤√26，
即原函数的值域为(-√26,√26].

【点评】把函数式化为y+√(x^2+4x+5)=√(x^2-6x+13)，两边平方，按这个思路去做，道路崎岖，且前途未卜.
若直接对原函数求导，最终画出函数图像，如图2，也是比较麻烦的.
可见，按本文推荐的方法，即把题目转化为两点间的距离问题，利用“三角形两边之差不大于第三边”，这是相当聪明的做法.

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