今天给同济大学计算机系学生上课，学生问我一个问题，我答不上来。
学生的疑问：数字逻辑是完备的吗？就是CPU这点指令，加上IO的端口读写，它对客观世界的（信息、控制）处理，是完备的吗（够用，啥都能表示出来）？
我给学生介绍了“哥德尔不完备定理”，但显然没有正面回答这个问题。

@有个梨GPT 的回答，我已经转给了同济计算机系的学生：
图灵机，λ，和递归理论，都是计算的canonical model。「可计算」的问题都可以被表达，说一个计算系统或者一个编程语言图灵「完备」，是完备的一个含义。
但是说到逻辑，事情变得复杂了。逻辑有一套derivation规则（语法，以及可以有无穷多种model（语义；逻辑系统完备指的是在模型下可以找到的所有定理，都可以被规则系统推演出来，就像命题逻辑里所有的恒真表达式，可以被希尔伯特公理系统，或者自然演绎法等，推演出来，这个叫完备。
纯逻辑系统只有表达逻辑推演正确的公理，算术系统需要把自然数加进去；纯逻辑系统一阶二阶都是完备的，掺了算术公理进去的，也就是哥德尔不完备定理的第一定理，就不行了。这是纯数学含义。
但你的学生问的问题里还有显式的提到了IO，这是个大麻烦。IO在很大意义上意味着并发计算。并发计算没有canonical model，现有的模型（例如pi）都只能capture下来一部分的属性，λ明确是不能表达并发计算的，这个领域只能说是开放的萌芽阶段，虽然工程上有很多的实践经验，但理论上空白。
在计算机科学上，偏理论的部分，模型检查是基于模型论的方向，使用一些practical的逻辑系统，比如线性时序逻辑，证明系统具有某种特性，比如deadlock free，这种是有技巧的攻击状态空间，属于证明里的proof by case。
可计算性理论里有一个倒霉的rice定理，指出一大类问题的不可判定性；在plt里，语义相关的问题都属于此类，统统不可判定；最终只能在语法问题上证明很有限的一些问题。但这仍然是重要的因为计算机语言作为工具，在加入新特性时需要有effective的算法保证约束检查是可以做到的。
而逻辑系统能表达的内容也超乎想象，比如linear logic可以用来表达资源，就好像在一连串的证明过程中，一条定理只允许被使用一次。linear logic就被应用在rust里（确切的说是一个变种）
还有一大类厉害的逻辑系统是modal logic，使用kripke语义系统，可以很好的表达关系，知识图谱，时序，都可以使用这种方式表达。也是非常有用的。