不等式－函数－求导－求参数范围，这是什么逻辑？
（2023年全国高考数学甲卷压轴题的说题）
大罕

【题目】已知函数f(x)=ax-sinx/(cosx)^3，x∈(0,π/2)，
⑴当a=8时，讨论f(x)的单调性；
⑵若f(x) 【说题】
第⑴小题.
函数f(x)的单调性由其导函数f ′(x)的正负来判定，这是常规方法.当a=8时，f(x)=8x-sinx/(cosx)^3，x∈(0,π/2)，
f ′(x)=8-[3-2(cosx)^2]/(cosx)^4=[2(cosx)^2-1][4(cosx)^2+3]/(cosx)^4，
令f ′(x)=0，得x=π/4，
∴当x∈(0,π/4)时，f ′(x)>0，f (x)单调递增；
当x∈(π/4,π/2)时，f ′(x)<0，f (x)单调递减.
【小议】求导过程有点繁琐，这些正是考查学生计算能力所需要的，有理有节.

第⑵小题.
已知不等式f(x) 为解决问题，先构造函数再求导，然后设法“剥离”出a，再对a的范围加以讨论，去伪存真.
详分细析，有如下步骤：
①为求导作准备，把原不等式右边移到左边，即已知f(x)-sin2x<0，(※)
②记g(x)=f(x)-sin2x=ax-sin2x -sinx/(cosx)^3，开始求导：
g′(x)=a+2-4(cosx)^2-[3-2(cosx)^2]/(cosx)^4，
③为方便计，换元以化简，令t=(cosx)^2，t∈(0,1)，
则g′(x)=φ(t)= a+2-4t +2/t-3/t^2，这里出现了复合函数φ(t)=φ((cosx)^2).
④对φ(t)求导：φ′(t)=-2(t-1)(2t^2+2t+3)/t^3>0，
⑤由φ′(t)恒正，知φ(t)在(0,1)上↗，故φ(t)<φ(1)=a-3，这是重要的结果！
至此终将a剥离出来了.以下对a-3的符号讨论，去伪存真.
⑥第一种情形：当a-3≤0时，有g′(x)=φ(t) ∴g(x) ⑦第二种情形：当t→0时，2/t-3/t^2=-3(1/t-1/3)^2+1/3→-∞，从而φ(t)→-∞，
当a>3时，φ(1)＝a-3>0，那么∃t0∈(0,1)，使得φ(t0)=0，从而∃t∈(t0,1)，使得g(t)>0，即当x∈(x0, π/2)时，g′(x)>0，从而g(x)在(0, π/2)↗，于是有g(x)>g(0)=0，与不等式(※)矛盾，故舍去，参见图2.
【小议】本压轴题确实是够份量的．即使上面详细剖析了，仍需要认真思考才能真正理解。
总的来说，有关函数及其导函数的数学题目，如果能画出其图像，函数的性质尽在不言之中．但若是纯代数的讨论，则劳神费力，极其繁琐．

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