说说最难的立体几何高考题
大罕

2023年全国高考乙卷第19题据说是历史上最难的立体几何试题．有人说，建立空间直角坐标系，用空间向量是解决立体几何的神剑利刃．可惜，此题虽可以用这一利器，岂料仍旧繁冗不堪，讨不了便宜．本文就说说此题．

【题目】如图1，在三棱锥 P-ABC 中，AB⊥BC，AB=2，BC=2√2， PB=PC=√6，BP、AP、BC的中点分别D、E、O，AD=√5DO, 点F在AC上， BF⊥AO，
⑴证明：EF∥平面ADO；
⑵证明：平面 ADO⊥平面BEF：
⑶求二面角 D-AO-C 的正弦值.

【说题】第⑴小题．
欲证明EF∥平面ADO，只需证明EF∥DO，则需证明点F是AC的中点．这是本题的难点．
证明F是中点，有三种方法：平几法、解析法和向量法．
解析法比较琐碎，向量法比较冷僻，而平几法虽朴素，但有点生疏．
介绍平几法：
在△ABC中，过点F作FT⊥AB于T，设AT=x，由FT∥BC，知FT= (√2)x，
设BF⊥AO于M，在Rt△ABO中，BM⊥AO，则∠BOA=∠HBF，即∠1=∠2，如图2，
∴Rt△BOA∽Rt△TBF，∴BO/TB=AB/FT，即√2/(2-x)=2/(√2)x，
解得x=1，∴T是AB的中点， ∴F是AC的中点．
至此开始，势如破竹，EF是△PAC的中位线，于是EF∥PC，而PC∥DO，
∴EF∥DO，∴EF∥平面ADO．大功告成！
后事如何，且听下回分解．（待续）
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