“数学名师”胡小群的肺腑之言：套路、硬背、不理解，学不好数学！

怎样才能学好数学？

这个问题很多学生、家长和老师的理解都是有问题的——绝对不是刷题，也不是计算。数学学习，最要关注的，应该是定义、定理和公式的发生、发展和形成过程。

要学好数学，必须充分理解定义是什么，定理和公式怎么来的，这些东西的内涵到底是什么？外延又如何？通过定义、定理和公式的深刻理解和挖掘，才能真正意义上对数学问题所蕴含的数理模型和思想方法进行深度的探索和掌握。

我举一个最简单的例子，除法。我们从初中往小学一步步推过去，让大家看到表象和本质的关系。

比如，我们要解一个关于x的方程，ax=2。怎么解呢？两边除以a，答案是2/a吗？那肯定不对。因为两边除以a的时候要讨论a是否等于零，但很多初中生会不加讨论地除掉a。然后说，呀，粗心了。其实，这和粗心没关系，这就是概念不到位。

这样的学生在除以a的时候，根本不去思考这一步动作背后的原因是什么？初中学平面几何的时候，会有一段时间的训练，让你每一步后面都加一个括号写个原因，这个做法非常好。但其他时候，学生好像就不思考了。

最高级的学法：用“定义”秒杀“奥数难题”

我们回到这个问题，两边除以a背后是什么？这一步背后的理由叫做：等式两边同除以一个不为零的数，等式依然成立。

我们再深挖下去，除数为什么不能是0呢？你会发现初中生很多都回答不出来。这就是小学不重视概念埋的坑了。除法是什么意思呢？在小学里，除法有这样几个重要的理解：平均分，那从平均分就可以很简单地解释为什么除数不能是0；还有什么需要对除法概念的理解呢？要理解到，除法是连减同一个数的简化，那是除法和减法的关系，就像乘法是几个相同的数相加的简化，有这个理解，以后到指数，对数，都可以类似的类比。在高中教学时，对数指数搞不清楚的学生，很多就是乘法除法没学透。还有什么呢？除法还可以从逆运算的角度去理解，除法是乘法的逆运算。在小学数学的教学和学习里，这些概念就应该掌握，思想就应该渗透下去。

所以大家看，表象上初中的粗心的问题，一路追下去，其实是小学的概念就没学好。关注小学奥数的家长可能知道，小学奥数里有很多所谓的和倍问题、差倍问题，解决这些问题并不需要什么奇妙的口诀和方法，只要从概念理解除法，理解了除法的平均分的含义，大量这样的奥数题都可以用定义轻松秒杀。

我们再回到刚才讲的最重要的一句话，要学好数学，必须充分理解定义、定理和公式的发生、发展和形成过程。了解是什么、为什么，里面蕴含着怎样的思想方法。

学一个“知识点”，有三个层次的水平

再举一个既是高中课标里的知识，又是所有小学奥数里都会教的东西，就是等差数列求和，传说中德国数学家高斯在小学时得到的结论。

也就是1+2+...+100等于多少的问题。等差数列在小学要不要学，怎么学？我认为，可以学，但是不是为了背公式地学。如果一个机构用1分钟让你背一个求和公式的结论，所谓首项加末项乘以项数除以2，再给你几个补充结论，比如什么中间项乘以项数，然后给你一节课训练套公式，看上去好像很爽，一个公式解决了大部分的问题，但实际上对数学思想的培养毫无作用。

应该怎么学这个东西呢？那这里就有3个问题。

第一个问题，公式怎么来的？这个我们家长可能都知道，1+100=101，2+99=101……总共能配成50对，所以是50个101，乘一下就出来了。第二个问题，这个求和用的思想方法是什么？其实这里的核心思想方法是配对。第三个问题，为什么等差数列可以用配对的办法求和？

相应地，学习等差数列求和公式，也就有3个层次的水平。

第一层水平：会背公式，会用公式求等差数列的和；这也是大多数学生停留的水平。如果学了这个内容，那这个是必须掌握的。但如果只是停留在这个层次，又不用去考什么试的话，我觉得不学也罢，完全是浪费时间，不如多背一首古诗；第二层水平：能对求和公式进行追根溯源，理解为什么能这么求和，也就是理解配对法；第三层水平：就是对配对的追根溯源和推广，把一些看起来完全不同，但实际上是一类的问题，也可以这么解决。

“偏科”的特征：偏理科的聪明但很懒，偏文科的勤奋却不灵活？

我在高中教书时，有许多偏科的学生。偏科一般是，高中比初中严重，初中比小学严重，因为年级越高，难度越大，偏科体现得就越明显。在哪怕所谓最好的学校，也是有不少偏科的学生。

大家不妨先想想自己周围的偏科的例子，文科偏科和理科偏科学生给你的直观感受是什么？大概是怎样的画像？——是不是偏理科的学生通常是聪明但是懒，偏文科的学生通常是勤奋但不灵活？

为什么会这样呢？其实背后是两种学科的学习方法的不同导致的。

文科学习需要大量的积淀，所谓熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟。哪怕小时候不求甚解，背很多古诗都是很有好处的。你要是愿意读很多书，背很多文章和古诗，英语和语文至少能达到优秀的水平，再加上一些生命体验和深度的思考，就是文科顶尖的学生。所以，文科好的学生，必然是努力的——无论是刻意在努力，还是天生就“喜爱阅读”的努力。

但是理科就不一样了，理科绝对不能不求甚解，一定要深入的思考，追根溯源，抓住问题的本质和根源。所以偏理科的同学往往很聪明，能想得通问题，理科学好，需要想透，需要举一反三。这些学生文科学不好，一般都是因为懒，不学文科，或者喜欢用投机取巧的方式学文科，不老老实实背单词、背诗文，天天在那琢磨写作技巧、语法结构，这也是很多培训机构造的孽。

文科生学不好理科是哪里的学习方法出问题了呢？简单而言，就是用记忆、背诵代替了思考，不去找背后的思想方法，总是想以记忆替代理解，用刷题取代思考。

很多这样的学生背一堆不用背的结论和公式；努力地反复刷题，机械理解。这种在文科中有效的学习方式在理科学习中，长期来看几乎就是坟墓，而且会彻底打消学生的学习兴趣和自信。

理科学习的“三个大坑”，一定要避免

给大家讲个很有意思的现象，网上那些所谓的高考必备结论多少条，我大多都是背不出来的，但我看了就知道怎么推导出来，背后是什么。而那种几千几万阅读量的秒杀技巧，必备结论，我可以非常负责任地说，几乎都是坑。

说到这里，几个常见的理科学习的误区，或者说一定要避开的坑，就比较明显了，希望我们的家长千万不要踩雷。

第一个坑，就是刚才提到的用文科的方法学理科，用背诵和记忆来替代思考。

第二个坑，就是口诀套路化的学习。

这可以说是许多培训机构的通病，口诀和套路的学习为什么这么盛行？我认为背后有2个原因。

第一个原因是，短期效果显而易见，毕竟我给你个口诀，看起来你一节课一下子能解决10多个题了，显得特别牛逼，哪怕这10多个题是我帮你挑好的。那些看起来很难的问题，被一个口诀就解决了，真是让很多家长和学生的多巴胺都一下子分泌了。但你仔细想想，这东西真的是好东西吗？就拿我刚才举的等差数列的例子来说，你的上限会被彻底地封住，稍加变化就不会了。这里也挺悲哀的，有点劣币驱逐良币的感觉。一个好老师，在一个问题上，给你展开，深挖，1节课围绕一个问题讲思想，竟然在很多没有辨识能力的家长眼里，会觉得学到的东西少了，不如1节课给个口诀讲20到题。

口诀盛行的第二个原因是，对有些太难的问题，因为考试的需求，不追求上限的情况下，能解决一些是一些，其实也是死记硬背的一种。有没有效呢？我觉得如果你一个月后就要参加考试，又来不及学那么多东西，那不求甚解，抱一点佛脚是一点。但现在的形势已经完全不同了，没有这样的眼前的考试，那这种学习方法就要彻底放弃，要从长远的眼光来看问题，不仅因为这样的学习会扼杀数学兴趣和自信，更重要的就是这个学法的上限实在太低了，只能解决孤立的、简单的、短期的问题。随着学到的内容越来越多，学生的脑子就会彻底混掉。

再举个数学例子看看所谓的套路学习吧，许多机构喜欢讲的数线段。

比如线段AB中间，点了3个点，C、D、E，那么这样一个图形里一共有几条线段。典型的口诀套路学法就是背一个公式，叫什么“点数乘段数除以2”，有什么意义呢？这还是数学吗？这里真正要学的是什么？组合的思想。

要理解这个问题，和5个人互相握一次手，总共握了几次手，其实是一个问题。要理解这个问题，和圆周上5个点，能组成几条线段，是一个问题。要理解这个问题，和5个人，每人给其他每个人各写一封信，是两个不同的问题。

因为先后次序的不同将影响结果。所以这个内容好的学习是怎么样呢？先通过一系列例子讲清楚有序和无序的本质区别，推导公式，再把类似问题“化归”到数线段问题，那就是小初高一体化的设计，小学就渗透到了高中的排列组合思想。

接着讲第三个坑。就是一味求快的纯粹的知识点下放。

用“知识点下放”来解决所谓的难题，是非常短视的和机械的。因为这将导致学生错过一次又一次鲜活的思维体验的机会。

比如，如果我们直接下放二元一次方程组来解决“鸡兔同笼”问题，它看起来很轻松，但这会错过让学生吸收各种经典数学思想方法的机会，比如假设、转化、比较、化归、极限、数学建模、数形结合等等。

如果每个经典问题都依赖于更高学段的知识点下放，那孩子的思维能力会被限制得非常厉害。提前学不是说不对，优秀的学生必然是有提前学的，但是不能过度，要在每一个载体，每一个契机中，去引导孩子深入思考，传递与渗透更高维与更本质的数学思想。

这样既能帮助学生解决当前的问题，又能启发学生的系统思维能力与知识迁移能力。再重申一遍，不要一味求快，而是要珍惜每一个载体，用尽可能简单的载体渗透深刻的思想方法。不要只会用高维的知识解决低维的问题，而是要用高维的思想渗透到低维的问题里。只有这样，才会在以后初高中的学习里，体会到那种自然而然、似曾相识。

最好的状态其实是，哪怕要用二元一次方程组来解鸡兔同笼，我们也是自然而然地把方程中的一些思想渗透下去（比如建模啊、消元啊等等），但不一定要出现x，y这样的字母。

关于进度的把握，其实可以遵循这样一个原则——如果不能通过思想方法的理解来解决问题，而一定要通过超前的难以理解只能靠“记忆的知识点下放”来解决，那可以再把之前的内容的思想方法再深挖一下，不要急着推进。

关于难题学习，也有一个判断方法：如果某个解答，或者某个老师的讲解，看完让你觉得，哇，太牛逼了。这么神奇，怎么想到的？那不是说明讲得很好，而恰恰是讲得不够好。好的解答或者老师的讲解，应该给你的感受是：这个题也不怎么难嘛，整个思路非常自然而顺畅。

最后，总结一句：希望大家能够感受到基于现有载体，渗透数学思想方法的重要性。也希望大家能够理解，一定要把基本概念、基本方法、基本思想作为解决数学问题的起点和终点——通过学透一个基本概念搞定一类题，通过学透一个基本方法搞定多类题，通过学透基本思想方法把难题变成简单题。

注：胡小群老师 2008 年毕业于复旦大学数学系，同年进入上海高中里的“四大名校”之一复旦附中任教。任教 8 年期间，带教各类实验班，大部分学生考取“清北复交”或哈佛、耶鲁、牛津等国内外TOP级名校。他也曾主持了多次的自主招生命题工作。

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