#今天要来点数学吗？##解析数论# 中的狄利克雷定理：

每个算术级数都包含无数个素数。

也就是说，形式为a + bn的每个数列都包含无穷多个素数。（这里 a 和 b 是互质整数。）

这个定理很容易表述，但很难证明。

2004 年，本·格林 (Ben Green) 和陶哲轩 (Terence Tao) 证明了有关算术级数中素数的定理，进一步阐明了素数的分布。

他们证明了素数包含任意长的算术级数。这比狄利克雷定理要难得多，而且证明长达 67 页。

在撰写本文时，已知最长的素数等差数列长度为23：

56211383760397 + 44546738095860*k，其中 k = 0, ..., 22。

这个算术级数中的每个数字都是质数！

另外关于狄利克雷定理定理，我在高中的时候有一个感悟：似乎对任何具体的互素整数对a和b，a+bn里包含无穷多个素数这一事实，都存在一个初等证法。（另外只要a=1，b随意，也存在初等的证明方法。）

比如说a=2，b=3的时候，我就能单纯借助反证法，仅使用初等数论里的知识证明结论。过程类似于存在无限多的素数。证明过程要用到a和b的具体特征。

————#每日一题# #初等数论# ————

试用初等方法证明，自然数列{2+3n}里包含无穷多个素数。

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但是对于一般的a，b（抹去a和b的特征，仅保留最一般的互素属性，相当于对互素的整数对全体给予证明），初等证法就是无能为力的。必须使用解析数论工具。

可能有人说，伟大的塞尔伯格不是在80年前提供了一个初等证明吗？

哦，倒也没那么初等。见图二，塞尔伯格没用到Dirichlet L-function，但是需要简单的分析工具。

我就是说，这个定理里的每个具体情况都能找到和分析无关的初等证法（但不是简单的证法），但定理本身必须要用到分析，这一事实挺耐人寻味的~