#数学# 函数的【值域】这个概念在日常讨论中经常会产生歧义。“值域”来自“range”这个术语的直接翻译，但在英文原版教材的上下文中，range有两种不同的含义，一种指的是image, 另一种则是codomain。

首先要辨析一下image和codomain这两个概念。如图1所示，定义函数f: X -> Y . 对于定义域X中的每一个元素x, 通过函数f的作用，都会在Y中得到唯一的输出值f(x)，这些输出值的集合{ f(x) | x 属于X } 就是定义域X在f下的像(image). 集合Y称为函数f的陪域(codomain)，陪域是函数映射的目标集合，包含了所有可能的取值范围，可能包含一些函数f实际上不会达到的值。image是codomain的子集。

出版时间较早的教材习惯用range来指代函数定义中的image或codomain。 例如1961年出版的Apostol微积分就把image称为range （见图2）。国内很多中文教材也沿用了这个习惯，把函数定义中的image称为值域 ( 见图3同济第六版《高等数学》 )。

再如图4，Terence Tao在2006年出版的《Analysis》（中文译名《陶哲轩实分析》 ) 中则用range来指代函数的陪域。

现代的数学教材为了更严谨的定义，通常不再使用range这个术语，而会明确地指出是image还是codomain.。例如《陶哲轩实分析》 第4版就修订了旧版本对函数的定义，把定义中的range明确修改为codomain， 并在附注中说明将用range指代image (见图5)。

回顾从初中到大学低年级的数学课程，主流观点的函数定义中【值域】指的就是image。 定义一个函数只需要

① 定义域X ② 对应关系f

这两个要素。计算机中应用广泛的离散数学，也把函数严格定义为“有序对(二元组)的集合”。定义域和对应关系确定了，值域(image)也就随之确定。

但随着学习内容的深入，我们接触到的函数越来越抽象，映射下的像(image)往往是难以确定的，为了方便研究函数的性质，我们所讨论的【值域】范围就从image扩大为codomain， 此时函数的定义也发生了改变。按照现代数学的观点，函数的定义由三个要素组成

① 定义域X ② 陪域Y ③ 函数的图像G

参考百科词条“Function (mathematics)”的最后一种定义（图6）。也就是说，即使两个函数的定义域和对应关系都相同，如果陪域(codomain)不同，按照定义这两个函数就是不同的。等学到了线性映射、代数拓扑等更抽象的概念，就能理解为什么要这样定义了。