#今天要来点数学吗？##微分几何#

高斯绝妙定理（相当于开创了现代微分几何学）

原始证明论文的英译本及导言，pdf 格式，由古腾堡计划提供下载

http://t.cn/A6EjArfs

定理指出，曲面的高斯曲率是一个内禀量，不依赖于曲面在三维空间中的嵌入方式。这意味着，如果一个曲面在不拉伸的情况下被弯曲，其高斯曲率保持不变。

曲面的高斯曲率通过局部等距变换得以保留。如果单纯看定义，要算出高斯曲率，先要知道曲率如何嵌入到空间中。而一个曲面的不同嵌入，可得出局部等距的不同曲面。

最简单的例子是平面和圆柱面：将一张摊成平面的纸卷起来形成圆柱，就得出从平面到圆柱体侧面的局部等距变换，因为这个变形不会改变纸上相近两点在曲面上的距离。

绝妙的地方在于，需要定义曲面到空间的具体嵌入方式，但最终结果却和嵌入无关。

该定理在地图投影学中具有重要意义。例如，它解释了为什么地球表面不能在平面地图上无失真地展示。任何平面地图投影都会在某些地方产生失真（参见http://t.cn/A6Ej2RKp）——因为球面和平面的高斯曲率不一样。