函数思想：常量进入变量数学的通行证，需警惕思维的转变

初中的数学课程，首先引入了一元二次方程，然后引入了二次函数。这是数学课程中首次引入函数概念，意味着新的思维方法和内容的接触，比如可以把二次函数与横轴的交点问题，理解为一元二次方程的求解问题。

函数思想是中学数学的中心主题，特别是高中数学的一条主线。函数是常量数学进入变量数学的一个标志，函数概念的引入，使大量数学问题得到了统一，比如中学数学中的一些问题：方程，不等式，数列，三角等内容都可以归结为函数；在解析几何中也渗透了函数思想；可以考虑函数构造，利用函数的单调性等问题来解决其他问题；在实际问题中，对于相关联的两个或几个量，如果一个或几个量的变化能引起另一个量的变化，则可以用变量来建立函数关系转化为数学问题。

面对具体的函数，常规的思路要考虑函数的性质，比如：有界性，最值问题；单调性；奇偶性；周期性；连续性；凹凸性；可导性等等。也会考虑函数的反函数，函数的复合等问题。

中学阶段，基本上会从前面的这些角度，学习到基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数以及整式函数、分式函数。

数形结合

熟练运用数形结合的思想，不仅能够有效地解决问题，还能够认识问題的本质，加深对数学知识的理解，提高解题能力。总结大量的解题经验可知：当寻找解題思路发生困难的时候、不妨从数形结合的观点去探索；当解题过程的复杂运算使人望而生畏时，不妨从数形结合的观点去开辟路；当需要检验结论的正确性时，不妨从数形结合的观点去验证。

中学数学中，数形结合的常用情形主要有以下几类：

与函数相关的同题，函数的图像及性质作为回题解决的突破口。
方程与不等式的求解问题，如果方程或不等式两边的表达式有明显的几何意义。
与复数有关的问题，考虑复数及其运算的几何意义。
求最值得问题，通过图形的性质等直观的优势得到思路。
平面几何不易直接解决的问题，可借助于坐标系，把图形的几何性质表示为图形中点的坐标之间的关系。

不等式x>(x-1)分之6地解集？

分析：不等式两边分别作为两个函数，不等式的求解问题就转变为函数图像的位置关系，进一步转换为求解两个函数的交点问题，结合图像可以很容易地找到问题的答案。

函数与方程思维

函数描述的两个集合之间的映射或对应关系，也即自变量和因变量；而方程联系的是已知量和未知量之间的关系，这和函数能联系到一起，是因为可以把函数中的因变量取某值，而去寻找自变量，那么问题就变为了方程问题；所以很多的方程求解问题，都会涉及到函数思维和工具的使用。

在重力作用且忽略摩擦力的情况下，一个质点在一点A以速率为零开始，沿某条曲线，去到一点不高于A的B，怎样的曲线能令所需的时间最短呢？这就是最速降线问题，又称最短时间问题、最速落径问题。

直观的感觉是，两点之间直线最短，但如果质点走的路径是最短路径，由于恒定的加速度导致全程的速度不够快；如果换一个能有较大加速度路径，会导致路径变长；那么到底怎样才能找到最优解呢？

关于该问题，通过机械能守恒得到包含微分和积分的方程，而方程的解即是最速降线。

无论是实际的应用，还是数学高阶内容的学习，函数都是无法避免的数学对象，在函数的基础上引入了新的运算——微积分，产生了新的方程——微分方程、积分方程，对方程求解产生了各种数值解算法等等丰富的内容。因此，函数思想是必须要掌握的一种基本能力。

（究尽数学）