面积平分线的包络线

五个绿圆，如何用一条直线将其面积平分？有网友已经给出了五种巧妙的分割方法，如图一中的虚线（前帖见：http://t.cn/A6ETdclD）。其中有三条相交于一点，另有三条也相交于一点，高一点的那个三线交点正是整个图形的重心。由此想起，任意斜率的直线都必然只有一条面积平分线，那这些平分线形成的包络线是什么样的呢？今天抽空算出来看了看，如图中红线，是一条有五个尖点的闭合曲线，整条曲线上切线斜率处处不同，且连续由0到无穷大，然后由负无穷回到0，对应的就是分割线从0度到180度的转动，分段旋转拼接的效果见图二。只有一处的切线是水平的，也只有一处的切线是垂直的，对应的分别就是@万精油微博 老师说的比较容易算的水平分割线和竖直分割线。为什么有这些尖点呢？大家可以思考一下。