不显山不露水的函数题
大罕

下面这道题，看似平凡，不显山不露水，其实是一道概念扣得很严的题，爬坡过坎之际，颇见功底．

【题目】已知A、B为实数集R上的非空子集,若存在函数 y=f(x) 且满足如下条件:①定义域为A时,值域为B;②对任意x1, x2∈A, x1≠x2 均有 (f(x)-f(x2))/(x-x2)>0,则称f(x)是A到B的一个"完美对应",
(1)用初等函数构造区间[0,1)到区间 [0,+∞) 的一个完美对应f(x);
(2)求证:整数集Z到有理数集Q之间不存在完美对应:
(3)若 f(x)=x^3-kx^2+1 ,k∈R, 且f(x)是某区间A到区间 [-3,2] 的一个完美对应,求k的取值范围.

【解答】依题意，f(x)是单调递增函数.
(1)f(x)=tan(πx/2).
(2) 假设f(x)是整数集Z到有理数集Q之间的完美对应.不妨设 f(m)=s, f(m+1)=t, 其中m为整数,s、t是有理数,且 s 则有 s<(s+t)/2
(3)令 f'(x)=3x(x-(2k)/3)=0 ,得驻点0,2k/3，两驻点之间是减区间，两边是增区间，且f(0)=1，f(2k/3)=-4(k^3)/27+1 ，
讨论如下:
①若k>0，则f(0)=1是极大值， f(2k/3)是极小值，如图1，
依题意，则有 f(2k/3)≤-3 ,解得 k≥3 :
②若 k≤0 ,则f(0)=1是极小值, f(2k/3)是极大值，如图2，
依题意,则有 f(2k/3)≥2 ,解得 k≤-3/2^(2/3)，
综上, k≤-3/2^(2/3),或 k≥3．
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