再谈一道求体积最大值的高考难题
大罕

2012年上海高考数学第14题，考查的是求四面体的体积的最大值问题．
此题看似不难，实则荆棘丛生，确有压轴之份量．今天看来，依然值得玩味．

【题目】如图1，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a,c为常数，则四面体的体积的最大值为______．

【解析】作BE⊥AD于E，连接CE，则 AD⊥平面BEC，∴CE⊥AD，
∴△BEC是四面体ABCD的一个直截面，如图2，
∴V(ABCD)=(1/3)×S(△BEC)×AD. ①

∵BA+BD=2a,∴B在以A,D为焦点的椭圆C1上，
∵CA+CD=2a,∴C在以A,D为焦点的椭圆C2上，
注意，C1、C2不在同一平面内，但它们是全等的椭圆，我们将椭圆C1、C2重合起来，使之成为一个椭圆C，如图3．
因为BE⊥AD ，CE⊥AD，由椭圆对称性知，EB=EC，即截面三角形BEC是等腰三角形．
于是，①化为：
V(ABCD)=(1/6)×(BE^2)×(AD)×sin(∠BEC)，②
在②中，AD和∠BEC是定值，所以V(ABCD)的最大值决定于BE．

在椭圆C中，BE是垂直于长轴的半弦长，显然，它的最大值就是椭圆短半轴，此时，有
AB=BD=AC=CD=a，如图4.
先计算V(ABCD)取得最大值时的S(△BEC)，
设椭圆C的中心为O，过点O作OF⊥BC于点F，
在Rt△OBD中，
OB²=BD²-DO²=a²-c²，
在Rt△OBF中，
OF²=OB²-BF²=a²-c²-1，
∴△BEC=(1/2)×BC×OF=(1/2)×2×√(a²-c²-1)=√(a²-c²-1) ，
∵V(ABCD)=(1/3)×S(△BEC)×AD
=(1/3)×2c×√(a²-c²-1)
=(2c/3)×√(a²-c²-1).

【点评】
本题作为压轴题有两大难点：
一是三棱锥的体积打破底面积与高的常规，需用直截面与侧棱，以满足“四面体ABCD中，AD与BC是互相垂直的对棱”这一条件．
对于习惯于墨守成规的学生来说，此法出乎意外．
二是条件“AB+BD=AC+CD=2a”表明在两个平面ABD和ACD内分别有一个椭圆，它们共焦点且长轴长相等，也就是说，同在一个椭球内．
对于空间想像能力不够的考生来说，简直不可思议．既然没有椭球的猜想，也就不敢把这两个全等的椭圆重合成一个椭圆加以审视．

【参考资料】大罕，评析压轴题：上海市2012年高考数学理科第14题．2014．5．3．