我们的少年们的学习不仅要学深，学渊，还有一条，我们要对孩子们要强调的，要把你的学问学到抽象的层次，这一点非常重要
http://t.cn/A63csSAR
曹则贤：经典力学：与数学创造同行（下） | 中国科学院2025跨年科学演讲
风云之声 2025年01月21日 20:04 山东
以下文章来源于中科院物理所 ，作者曹则贤

2024年12月31日，由中国科学院学部工作局、上海市科学技术委员会、上海广播电视台主办，中国科学院物理研究所、中国科学院计算机网络信息中心、中国科学院上海分院、新浪集团承办，微博、新浪新闻、国家开放大学出版传媒集团协办的“复兴路上的科学力量——中国科学院2025跨年科学演讲”面向全网播出。

当晚，中国科学院物理研究所曹则贤研究员开讲《经典力学：与数学创造同行》。现将演讲全文内容整理如下，个别字词稍有改动。由于微信字数限制，全文将分为上下两部分推送，上篇详见曹则贤：经典力学：与数学创造同行（上） | 中国科学院2025跨年科学演讲，包含开篇词、萌芽态的力学、圆锥曲线、牛顿运动定律与万有引力、物理量与运动的描述五部分内容。本文为下篇，包含“坡”问题、虚功原理、达朗伯原理、高斯的最小约束原理、转动坐标系/刚体、莫珀替原理、拉格朗日力学、勒让德变换、哈密顿力学、哈密顿-雅可比理论、经典力学更多话题、结束语十一部分内容。

演讲的幻灯片文件可在中科院物理所微信公众号后台回复“2025跨年演讲”获取。

点此查看演讲视频回放
“坡”问题
图片
好，现在我们知道怎么描述运动了，知道有牛顿定律了，那么力学到什么程度到什么时候呢？大概就到了 17 世纪中间的时候，大家一边发展着微积分，一边拿着微积分来互相难为对方。就是说关于运动咱们大家出题目。我们都知道单摆，刚才的单摆实际上它并不是严格周期性的，摆绳摆幅不一样的话，它的周期是不一样的。

那么怎么去制造出一个摆，这个摆你不管怎么摆法，它的周期是一样的，就成为一个难题。那么惠更斯就提出来了，说做一个这样的摆，大家看（注：该页 PPT 右列那幅图），这也是你在一个平面桌子上滚一个硬币得出来形状，叫摆轮线。这样的话，你把一条单摆定给它定在这个地方摆绳，遇到这个线的时候会搭在上面，这样的摆它就和振幅完全无关，就是说摆绳不管多长，它都是等时的，就非常酷。

那么这样的一个摆轮线，我们都知道现在发展成一个运动，就是小轮车运动。小轮车做成这样的话（注：该页 PPT 下面那幅图），从不同地方车开始往下滚的时候，到底下速度是一样子的。这就是当初的一个问题就是说我们从一个 a 点到下面一个 b 点，我修一个坡，我能不能做到这坡上不管从哪一点放下一个球，它滚到底下的时候，都是同时滚到这个球底下，这个叫等时线问题。从 a 点这样修一个坡，你拿一个球放在不同高度，你不管在哪出发的，它最后滚到底下的时候是同步的，这是一个问题。

惠更斯，又是这个光学大家，也是做钟表的人，给出了这个方程，这叫摆轮线。你拿一个硬币，或者说有个苍蝇趴你车轱辘上，你车轱辘转的时候苍蝇的轨迹，这就叫摆轮线，大家一定要记住这个很重要。

图片
1696年瑞士的这个数学家约翰·贝努里向江湖发出的英雄帖，说谁能解决这个问题，结果收到答案有哪几个人呢，一个是他们家的，应该他叔叔辈，叫雅克布·贝努里，一个是德国著名的神一样的人物莱布尼兹，另外一个是德国的哈斯，有钱人哈斯，另外一是法国人洛必达，学微积分都知道洛必达法则，这已经有四个人了，还有第五个人，不好意思写自己名字，匿名，约翰·贝努里说这一定是牛顿，然后说出著名的话“从一个从爪子上我能判断出这是哪头狮子或者它是个狮子”。其实我后来想也不是因为那时候全世界数学能到这个程度的，也就这几个人，一猜估计他也就是牛顿，又是从英国寄过来的。所以大家看这五个人大概是挺酷，当然了，约翰自己本人也发表了对这个问题的解。
图片
那么这个问题的解就厉害了，带出来一个什么问题呢？

图片
除了带出摆线模型以外，它最重要的是带出了一个问题，就是对一个积分怎么求极值的问题。因为过去牛顿的微积分教我们大家的都是给你一个函数，怎么求它的极值？函数求极值，就简单来说对函数求微分那极值出现在微分等于零的地方，这过去大家都会了，现在是说给你个函数做积分，怎么求这个积分的机制，这是一个新的数学。

他大概想说的什么意思？这样的一个数学问题表示的物理是什么样，就是说有某个事件起点和终点是固定的，我要求你根据某个规则选择它路径是什么，或者反过来说，如果你知道了某个事件，它的起点是a终点是b它必然走出这样的一个路径的话，请你告诉我它的规律是什么，现在变成了这样的一个问题。

欧拉—拉格朗日方程
图片
这样一个积分的求极值问题，不仅是当时这五个微积分方面的大拿，提出这个问题，而且这个问题会一直流下去，流到什么程度？到了18世纪中后期，两个人一个是来自瑞士的欧拉，一个是来自法国的拉格朗日，都来研究这个问题。
图片
那么研究这个问题欧拉表示就是硬算，说如果一个那样的函数求微积分的话，它满足的条件是得出这个方程，欧拉老师是硬算的，我请大家记住欧拉老师的算功是非常厉害的，欧拉晚年是双目全瞎了，双目失明，但是人家的算功一点都不减，还是几天一篇文章。

图片
那么拉格朗日的认识就高一点，他说对于这样的新问题，一定需要新的数学工具，变分法，它假设我的函数有一个变化，但是也是相当于引的新函数，这个新函数带进去，如果要求我的量在一阶这个层次上还是不变的，那么它也能导出一个条件，条件竟然和欧拉得出来是一模一样的这个方程，现在就叫欧拉-拉格朗日方程，大概也是判断一个理工科人的判据，你知道不知道欧拉-拉格朗日方程，理工科的学过力学的都应该知道。

图片
变分法
图片
那么这个地方就引入了一个对积分的求极值的新方法，叫变分法。变分法第一个成果就是所谓的欧拉—拉格朗日方程，那么这个地方我提醒大家一句，现在我们把数学学到这个份上的时候，就有了三个所谓的“分”，一叫差分，二叫微分，三叫变分，用的符号不同，分别是希腊大写字母德尔塔，d和希腊小写字母德尔塔，这是所谓的三个分。

那么这三个分不同的人看到它的角度是不一样子的，关于差分编计算机软件的人都知道，会把减去叫做这个地方的差分或者差。但是一个奥地利人波尔兹曼1872年说，对于这个差分我要赋予它哲学意义，于是乎量子论产生了。而在这样的一个研究极值的过程中，差分、微分和变分这三个东西是汇聚到一点的，而在我们中国，在我们物理所后面的所数学所里面，有一位冯康先生，他在同一篇论文里面把差分微分和变分问题揉到一起去了，于是乎产生这个世界上非常重要的有限元方法。你想想我们科学院的有一位老先生冯康先生他的论文里面把差分微分和变分融合在一起，我们科学院应该宣传一个很重要的点，学问能做到太厉害了。
还有一点我强调一点，就是这些东西我们看似是一个简单算的东西，可是不同的人看到的高度不一样，最终一定要看到哲学的层面。所以说我提醒大家，就是说我们不仅要会写出模仿人家写公式，还要学会看公式里面意义，比方说它的经济意义怎么把它变成实用，用它挣钱，然后也学着看到它的哲学意义，要养成这样的一个自觉。
图片
我们现在求一个函数的积分，怎么让它最小，如果仅仅是一个函数求极值谁都会。结果你遇到其实际问题是什么？其实问题反而是说你在这个函数还要满足别的条件，比方说给孩子钱，让他到商店里既要买蔬菜，又要买零食，还要买点肉，结果钱数总共就是80块钱，钱数一定情况下，怎么到商店里买的东西，买这东西还得是用来做菜最合理的。大家看这就不是个容易问题，就是说给你钱数是总是固定的，然后你到商店里买的菜，买的肉，买的调料，还是正好能做出这菜还没有多浪费的，就这样的问题。那么求一个函数的积分的极值，还要满足不同的条件。这个条件可能是简单的直接表达的代数条件，还可能是一个微分形式的条件，还可能是一个积分形式条件，对于这样不同的条件，拉格朗日发展了的自己的数学方法，这就叫拉格朗日乘子法。
拉格朗日乘子法
图片
图片
图片
我就不给大家细讲了， PPT上讲的非常详细，请大家有空去学。
图片
那么这个地方有个很重要的哲学，就是方程本身是一个等于零的，你把约束条件也当做零加进去，零加零还等于零，这个是大家都能理解的，但是为什么你把一个零和另外一个零加到一起，零加零等于的这样一个新形式就有意义呢。因为你加上去不是一个单纯的零，而是加上去是一个很多项和等于零，很多项的和等于零加到一个零上面，这个意义是不一样子的，这是理解拉格朗日乘子法非常重要的地方。
图片
图片
我不给大家细讲了，那么我们往下就到原理层面了。
虚功原理
图片
原理层面，我们的力学的原理层面，从前就叫杠杆原理，我再大给大家强调一遍，不要误以为我们在中学里面学过杠杆原理，就会懂杠杆原理了。杠杆原理后来经过发展，这些大拿，伽利略、笛卡尔、托里切利、瓦里斯、惠更斯，大家看哪个不是大拿，他们都后来对以杠杆定律代表的虚功原理有不同程度的发展。那么约翰·贝努力在1717年的时候系统化了虚功原理，然后达朗伯1743年出版了一本动力学讲义的书，利用虚功原理解决动力学问题。1768年拉格朗日用更有效的广义坐标表示虚功原理，从此把动力学问题化成了静力学问题，有了系统的解决力学的方法，这是这一段历史的简单总结，然后下来我们看细节。
图片
亚里士多德是怎么定义的干活的能力的，或者叫功率（power），那是什么？就是重量与速度的乘积。大家想想这是不是也是这个道理？我们现在都说我们每天上班是搬砖的，那么老板怎么看你搬砖的能力的，那就是砖的重量和你搬的速度对不对？砖的重量乘以搬砖的速度，那就是你搬砖的能力，这就是老板在意的。那么在搬砖的过程中，干过活的人都知道，搬砖的过程好像还是蛮愉快的，最难的是你搬着砖在中间过程你还是停顿的，这个时候你在老板眼里是一点功绩没有的，但是你停在这，搬着砖的，可是一点都不轻松的，就像我们拉滑轮，尤其是救人的时候，你拉住了不是问题，你这手一松拉不住，这才是大问题。像这样的问题，你不应该研究这有几个滑轮，拉住了后这边力和这边的重力什么关系，而是要好好研究，一旦拉不住该怎么办。
所以说这个地方就带入了一个很重要的东西，杠杆平衡的实际问题和速度有关系，但是虚速度，因为杠杆两端的时间又相同，所以说就落实到了杠杆可能出现在虚位移上面了，就是说如果一旦动的话，虚位移怎么回事？这个地方虚位移，我当初学力学的时候，我死活也想不通虚位移到底该是多少，因为你没运动，只是说如果运动的话，这一点运动的和这点有什么关系？可是这个值不是想怎么取就怎么取的吗？所以当年我学这个东西我死活也学不明白。
图片
学不明白咱们先放着，然后我们再看关于功的认识，伽利略获得了功的认识，又回到搬砖这个问题上，老板怎么对你的工作性成果记账的，就是你用的多少力乘上你做多少位移，这个叫功。
图片
那么对于虚位移，力乘上虚位移等于零，那么我们都知道力乘上位移的词叫功，所以这个现在又变成了叫虚功原理，虚功原理就是假设你那个加的力乘上它可能的虚位移，总和应该等于零，这才叫平衡。这是正常的空间坐标，如果你把它考虑到这个系统还受一些约束，如果你不用考虑约束，能够用广义坐标描述这个问题，那就用广义坐标来描述这样一个虚功原理，这个也没问题，跟这个本质上也是一样的，反正就这样的一个公式，如果这些坐标互相都是独立的话，那么这个等于零，就意味着前面的各个必须等于零，这是一个极端的例子能用，但是但凡不是这种情况，好像这个东西就不该这么用了。
反正我当初学理论力学是学到这个地方很糊涂，因为就是这个问题，因为这个东西是虚的，到底该多大，它是无穷小的，无穷小是多小，因为都是无穷小的，差个两倍它也叫无穷小，对不对？差两倍小的加起来和等于零的问题就出问题了。数学上我始终理解不了，直到有一天我们读到了当年这些科学家也不知道这些东西该怎么办，他是把这个东西作为原理，你要把它上升到一个层次，把这个问题消除了再它只是指引导你往上一个层次去下一个层次去看问题，这就好理解了。
图片
那么虚功原理，当我们后来有达朗伯原理的时候，达朗伯把质量乘上加速度这个项，也当做一个实实在在的力叫惯性力，把它当做力处理的时候，这样的虚功原理就能够让我们的力学腾飞了。所以说虚空原理一定要和达朗伯原理结合往下才能走，否则就是虚功原理本身好像没什么用。
……