函数单调性的一个易错问题
大罕

导数为正是函数单调递增的充分不必要条件.
反过来，当函数在区间上单调递增(且可导)时，导函数必然非负．即使导数在个别点为零(比如区间的端点处)，只要这些点不构成区间，函数仍保持其单调性．
也就是说，导数非负是函数单调递增的必要不充分条件.
以上是容易混淆的问题，值得记取 .

【例1】若函数h(x)=lnx-(1/2)ax²-2x在 (1/2,2)上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为 ( ).
A[-1,+∞) B(-1,+∞) C[0,+∞) D(0,+∞)
【解】定义域x>0，依题意，则h′(x)=1/x-ax-2≤0在(1/2,2)上能成立，
即a≥1/x²-2/x在(1/2,2)上能成立，
设t=1/x，则t∈(1/2,2)，故只需求f(t)=t²-2t在(1/2,2)上的最小值，
而f(t)=(t-1)²-1，在t=1时取得最小值-1，
∵h(x)在 (1/2,2)上存在单调递减区间，
∴a≥-1，故选A.

【例2】已知函数f(x)=(1/3)x³+ax²+x在(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( ).
A(-∞,-1] B[-1,1] C(-1,+∞) D[-1,+∞)
【解】∵f(x)在(0,+∞)上单调递增，f ′(x)=x²+2ax+1≥在(0,+∞)上恒成立，
即a≥(-x²-1)/2x在(0,+∞)上恒成立，
设g(x)=(-x^2-1)/(2x)，则由x∈(0,+∞)，可得g(x)=-[x/2+1/(2x)]≤-1，即g(x)最大值为-1，当且仅当x/2=1/(2x)，即x=1时取得，
∴a≥-1为所求，故选D.
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