昨天的题见图一。 下面我讲一下我当时的整个思考过程。请务必时刻记住，这是思考过程，不是最后的卷面解题过程。前者包含了各种尝试(最终可能是无用的或者多余的)，类似于ds深度思考那一堆话。我就是想展示我们怎么顺着动机线索去解决问题以及改进方法等等。它不一定很快，但至少能解决问题，总比你对着题目干瞪眼好。
首先，这个题要求三角形PEC的最小周长。 我很快注意到EC=3(因为这是经典的勾股数)，所以相当于求PE+PC的最小值。
接下来，注意到E和C两个点的位置是固定的，而D是固定点A到固定直线EC的垂足。因此BD也是固定的直线。这样一来，整个图形，除了P，都是固定的。
所以问题就变成光线从固定点E出发射向固定的镜面BD然后返回C的光路最短问题。也就是说，P实际上是光线反射点。这意味着它也是固定的。 因此整张图都是固定的。
固定意味着什么？那就是指你一定可以算出里面所有的东西(角度或者边长，也可以是点的坐标)。至于求它们的计算量会不会很大，或者计算方法会不会复杂，那是另一个问题，可以先不管。 总之我知道了一个很重要的事——这道题的周长我能算了，也就是说题目已经在我可以控制的范围里面了，顶多是算起来烦一点，但不会算不出来。这是个非常重要的信念。
然后，我把C和E关于镜子BD的镜像画出来，即C'和E'.我要求的问题就归结为求C'E的长度。 这线段在三角形BEC'里面，而C'B=5，BE=4。所以，如果我能知道角度C'BE是多少，那么我就能用余弦定理算出来C'E. 我不用去管余弦定理能不能用的问题。因为这是在草稿纸上，我想怎么用都行。而且我知道怎么把余弦定理转换成普通的勾股定理写出来，顶多是烦一点。 更何况，当我一旦知道答案后，很可能会发现一些新的关系，到时候就能换其他更好的方案。 现在问题就归结为求角度C'BE。 所以，这又是一个很重要的信念，就是你知道自己下一步要算什么了，至于计算会不会很烦或者会不会超纲，这些都不重要——解决问题(找到答案)是首要的。
接下去我要把这个角度算出来。 我先看看哪些角是已经知道的，哪些需要算一下。 看图二，我设角EBC为x,角EBD为y. 利用题目条件，很容易求出C'BE是x+2y. x是已经知道的角(因为正弦余弦清清楚楚)，至于具体多少，暂时不重要。因此问题归结为求y.利用AD和BE平行条件，ADB也是y. 这时候它的对边AB长度是5，是知道的。同样角BAD等于90+x. 因此我有机会利用正弦定理——还是那句话，草稿纸上别管用什么方法，事后再找改进方案也不迟，千万不要死板。
用一下正弦定理，我们就有AB/sin y=BD/sin(90+x). 现在问题就变成BD怎么求。注意到BDE是直角三角形，所以BDcos y=BE,而BE已经知道是4，这样我就能消掉BD获得求y的等式，也就是AB/siny=BE/(sin(90+x)cos y),整理一下就是siny=cos y.这就得出y=45度!!!
到这一步，我们就找到了真正的题眼了!y=45度是我之前完全没想到的，它太特殊了。由此C'E的长度就出来了(这些顺理成章的事就不用多说了)。
这个题眼表明了什么？它太特殊了。这表明，我前面的讨论路径十有八九可以利用这个条件重新洗牌。所以这就是我为什么前面反复说，解决问题是首要的，一开始的方法不一定是你最后的方法，你发现了新的关系，它很可能会给你提供新的解决方案。
接下来就是从这个新发现的题眼出发，去改进证明方法。 首先，刚才我们用两个三角形的正弦定理求出y,也就是利用三角形ADB和三角形BDE。中间的公共边BD起了过渡作用，本身并没有用到。这意味着我们可能一开始并不需要BD介入就能证明y=45。当我把BD擦掉后(心里面擦掉)，我实际上只需要观察直角梯形BEDA.
图三，我把这个梯形拎出来看。它所有边和角都是固定的，所以肯定能算出来y=45，关键是不要用BD。因此问题归结为说明DEB是等腰直角三角形，也就是说明DE=4. 它就是梯形的高，也就是图里面虚线高AM的长度。AM太好算了，因为角ABM是90-x,它的正弦早就知道了，所以瞬间得到DE=4.
再往下，前面求C'E用了余弦定理，要替换掉。这种改写方式是常规的，因为原来的余弦定理证明就是勾股定理来的。 具体说，我需要弄一条高，从C'出发，往BE做垂线。 当然这样垂足跑外面，引进它不一定划算。所以可以把它平移进去(实际上就是E'B。
但我怎么知道E'B就是平移过来的垂线？ 这个时候题眼y=45就起作用了，因为你很容易看到镜子DB是直角E'DE(直角E'BE)的角平分线，所以也就是说E'DEB是正方形!
现在我发现的新关系又多了一个，对吧，所以我瞬间知道E'D=DE=4. 由镜像对称，我还知道C'E'=3,这样我对直角三角形DEC'用一下勾股定理就求出C'E. (其实它本质上就是我们对前面余弦定理证明的改写)。
现在我就能整理思路，抹掉所有那些绕弯路的思考，直接给出证明，题眼是y=45,然后发现那个正方形，最后勾股定理。其实这里还能再改进一步，只需要注意到刚才直角梯形里面我们求的高AM实际上就是正方形边长[嘻嘻] 所以实际上你的证明还能进一步抹去这条早先的动机。 具体证明留给大家了。实际上最后呈现的证明就是老师讲的那些。
我后来听娃讲老师证明，他是先延长AD到E'，强行让三角形AE'B和BEC全等(他们证明里面E'并没有说是镜像对称)，然后证明E'DEB是正方形...... 这种证明十有八九是先看了答案，知道题眼才硬凑的。正常情况下，普通人并不是一眼就能看到y=45的，从而不太可能去进一步构造正方形。 假如我题目数据都改一下，推广到一般情形，这种硬凑的证明立刻失效，而我的常规思路是普适的，完全可以处理同样一类问题。
所以小孩要学的其实就应该是怎么从动机出发去解决问题，养成一种普适性的思考方式。老师讲解题也应该从动机出发，解释清楚为什么会这样做。跟别人讲一个证明，解释背后的动机是非常重要的，技术性的细节可以后面慢慢处理。很多学生，包括大学生，经常遇到这样的情况，就是看证明每个字都懂，但练起来就不知道在说啥。这往往就是没抓住作者的动机。做题也是。这就是很多人学了100个题，到101个题还是不会。这道理也很像武侠里面练功，你只会剑招，不会心诀，只能打打小喽啰，以后很难和高手过招[哈哈][哈哈][哈哈]
