一道立几难题的简证
大罕

”说说最难的立体几何高考题⑶”http://t.cn/A6dCWMFe的第(3)题，有更简单的方法，如下：

【题目】如图，在三棱锥 P-ABC 中，AB⊥BC ，AB=2 ，BC=2√2， PB=PC=√6，BP、AP、BC的中点分别D、E、O，AD=√5DO ，点F在AC上，BF⊥AO，
(1)(2)(略)
(3)求二面角 D-AO-C 的正弦值.

【解】(3)设AD与BE交于点H,
∵H 是 △ABC 的重心，G是 △ABC 的重心,
∴HG∥DO，
又 ∵AO⊥DO，∴HG⊥AG， ∵FG⊥AG ，
∴∠HGF 是二面角 D-AO-C 的平面角,
在 △PAB 中，AD是中线, AD=√30/2 ，PB=√6 , AB=2 ，由三角形中线定理,有
2(PA^2+AB^2)=(2AD)^2+PB^2,
即 2(PA^2+2^2)=(√30)^2+(√6)^2 ，
解得 PA^2=14，
又 ∵BE 是中线,
∴ 2(PB^2+AB^2)=(2BE)^2+PA^2 ，
即 2[(√6)^2+2^2]=4BE^2+14 ，
解得 BE^2=3/2 ,所以 BE=√6/2
在 △ABC 中，BF=1/2AC
=1/2√(2^2+(2√2)^2)=√3,
在 △BEF 中, EF=1/2PC=√6/2,
BE^2+EF^2=2(√6/2)^2=3=BF^2,
∴△BEF 为等腰直角三角形,
∴∠BFE=45° ∴∠HGF=135°,
∴sin∠HGF=√2/2,
∴二面角 D-AO-C 的正弦值为 √2/2．
以上过程请对照图形才能看懂．