从小学数学到初中数学
最大的变化就是“变化”

①数的变化
小学只有：整数、分数、自然数、单数、双数、质数、合数、倍数…
初中开始有：正数、负数、无限不循环小数、无理数、实数、未知数…
单单一个“未知数”就整糊涂很多孩子
a是正数吗？
-a是负数吗？
a是整数吗？
a可以是负根号2这样的无理数吗？
a-b的相反数是多少？
a+b的相反数？
a+b的倒数？
｜a-b｜=？
-5的倒数是多少？
-1/（根号5-根号3）的倒数是多少？
2的平方根是？
2的算术平方根是？
2的立方根是？
-2的立方根是？
-2有算术平方根吗？
a^2表示啥含义？
（ab）^2表示啥含义？
（a^m）^n又表示啥含义？
（根号2）^4=？
（-根号2）^4=？
1/(根号3-根号2)=根号3+根号2怎么来的？
…

看出差别了吧

抽象符号更多
意义的理解更深
各细节的区分更细
要求理解和贯通的点更多
开始有分情况讨论
看见不再是唯一

②多样性比唯一性更广泛出现
这里就开始需要逐步建立一些数学思想
A）一题多解的思想
逐步优化出不同解题思路，通识各种思路之间的优缺点以及适应性。开始有意识建立效率思维。
B）分类讨论思想
很多问题不再是唯一性结论，需要分情况进行讨论---怎样讨论？怎样分类讨论？怎样有序而完整地进行分类讨论？
这是一个值得深思的点，每一次讨论又是否回归到基本点进行回溯，为什么需要讨论，它在哪个点存在差异才需要讨论？讨论完又怎么进行结论总结？
即当问题的条件或结论不唯一时，需要对各种情况进行分类讨论。如在解绝对值方程或不等式时，要根据绝对值内式子的正负性进行分类讨论；在研究等腰三角形的边长或角度问题时，需考虑不同边作为腰或不同角作为顶角的情况。
很多问题是关于数的分类讨论？还是几何图形位置的讨论？或者区块构成的讨论？…

数与几何的形又是怎样的关系，所以又要求掌握下一个思想

C）数形结合思想
二次函数抛物线与直线交点个数问题，到底在无交点、一个交点、二个交点、三个交点…说什么情况下出现，如果纯几何理解很难，必须数形结合才能看出分界点。
将军饮马怎么饮马，必须建立对称图形，找到新的几何图形，在对应的图形中把两线段和化归到一条线段上求解。
四点共圆里面同弦圆周角相等，必须数形结合进行角度或面积的各种倒腾计算。
动点问题中临界点在何时出现，需要在具体问题的图形中发现并进行分类讨论。
…
代数和几何的有机结合，也是把点线跨越到面，再逐步构建到空间的过程。如果孩子最初没有这种意识和思想，后面怎么进行添加辅助线也会迷茫，因为她根本不理解为什么要添加辅助线，又是怎样添加辅助线的？只有在各种倒腾里分清楚不同分类，是怎样不不规则化为规则的，那么需要怎样的切割或者添加，又是联合了哪些原理来实现下一步的推导。

D）转化和化归思想
将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题。如在解分式方程时，通过去分母将其转化为整式方程来求解；在计算多边形内角和时，将多边形转化为多个三角形，利用三角形内角和来求解。

E）整体思想
把研究对象的一部分或几个部分看成一个整体。例如在代数式求值中，有时不直接求出每个字母的值，而是将一个代数式整体代入另一个代数式进行计算；在解方程组时，也可通过整体代入或加减消元的方法来求解。

概括起来，数学的四大思想就是----
函数、方程、不等式相互转化的思想
数形结合和形数分离的思想
分类讨论的思想
等价转化与非等价转换思想