2025上海中考第25题(压轴题)赏析(3)
大罕

回看第⑵题解法一http://t.cn/A6DZ57qQ，通过四组相似三角形的比例关系，最终求解出目标线段的长度．多组相似图形的关联，构成了本题的核心难点．这些相似三角形相互交织，彼此勾连且暗藏玄机，不仅要求解题者精准捕捉对应边与对应角的关系，更需要灵活转化、巧妙联立各比例式．稍有疏忽，便会陷入错综复杂的几何迷局而铩羽而归．
换个视角来看，本题还存在多种解法路径．因此，本短文介绍第(2)题的解法2和解法3，在附注中还介绍不值得推荐的解法4.

【题目】口ABCD中，
⑴若E是BC中点，
①若AE=EF，求证：∠BAE=∠EFC；
②若CF=DF，连接BF交AE于G，求S(△BEG)：S(△AEF)的值；
⑵若AB=3，AD=5，CF=1，∠AEB=∠AFE=∠EFC，求AF的长度．

【解法2】延长AE，与DC的延长线交于点M，又在BC上取点G，使得AG=AB，又设AF= x，CM=y，
∵△AFE∽△AGE，
∴AF/AE=AE/AG，⇒AE^2=AF•AG=3x，⇒AE=√(3x).
∵△AFE∽△EFC，
∴AF/EF=FE/FC，⇒EF^2=AF•FC=x，⇒EF=√x.
∵△AGE∽△ECF，
∴AG/AE=EC/EF，⇒ 3/√(3x)=EC/√x，⇒EC=√3.
∵△EAB∽△FME，
∴EA/FM=EB/FE，⇒√(3x)/(1+y)=(5-√3)/√x，⇒y=-1+(√3)x/(5-√3)， ①
在△AFM中，EF是∠AFM的平分线，⇒AF/FM=AE/EM=AB/CM，
⇒∴x/(1+y)=3/y， ⇒y=3/(x-3). ②.
由①、②得：-1+(√3)x/(5-√3)=3/(x-3) ，
解得x=AF=(5/√3)+2.

【解法3】在BC上取点T，使得AT=AB，参见图5，
∵△AEF∽△ECF，⇒AE/EF=EC/CF，
且△AET∽△EFC，⇒AE/EF=TE/CF，
∴TE=EC.
∵△ATE∽△CEF，⇒AT/TE=CE/CF，⇒TC^2=AT• CF，
∴TC=√3.
取BT中点Q，连接AQ，则AQ⊥BC，
由勾股定理，得AE^2-QE^2=AT^2-QT^2，
∴AE^2=3^2-(5/2-√3)^2+(5/2)^2=6+5√3，
∵△AEF∽△ATE，⇒AF=AE^2/AT=(6+5√3)/3=(5/√3)+2.

【附注】除了上述三种解法之外，“武汉董逗”老师提供了一种十分精巧的方法：
如图6，在线段AE、AF上分别取点M、N，使得GM=GE=√3，FN=FD=2，则
△AMG∽△DNA，据此可得AF=(5/√3)+2.
实际上，除了上述提及的4种解法之外，肯定还有别的解法，笔者尚未更深入探讨。

【参考资料】于新华，2025年上海中考数学压轴题解法分析，于特数学教研，2025年6月16日．
#初中数学[超话]##中考##几何#