在兵书里学会……徒手开平方根

1632年，马德里出了本西班牙兵书《军事准则、命令与战队队形》（Preceptos militares, orden, y formacion de esquadrones），里头曾提到过一个非常有意思的开平方算法。

那年头的西班牙军队长矛手有两种方阵（quadro，写成现代西语是cuadro，不是tercio，也不是esquadron/escuadrón）。

一种叫人方阵（quadro de gente），一种叫地方阵（quadro de terreno）。

所谓人方阵，就是将a名长矛手排成√a伍√a列，这样，每伍、每列人数都相等。
比如说，100人的队伍，就列成左右10伍，前后10列。

所谓地方阵，则是将a名长矛手排成b伍c列，满足a=b×c且3b=7c。在此状况下，由于每名长矛手横向占地为3尺，纵向占地为7尺，那么这a名长矛手列队完毕后前后为7c尺，左右为3b尺，整个队形前后左右占地恰好相等。
比如说，100人的队伍，就先是100×3÷7，取整得42，然后42开平方取整为6，得出应当排成前后6列，左右16个伍（不要问我剩下那4个人怎么办，我也不知道）。

问题自然来了，100这种方便的小小平方数自然可以口算，大数字怎么办？

所以，这本兵书一开始就教了教如何手动开平方，而且是个乍看起来几乎没有规律可循的数：21178404。

从第3叶到第5叶，该书依次给出了5个演算步骤（以及1个示范的废步骤，这里就不提了），并给出了相应说明。

换成现代人能看懂的解读方式，那就是。

第一步，点位数，两位两位地点，分出21178404里的21、17、84、04。

第二步，21估测平方根，得4，记上千位数字4和 21−4×4 后余下的5。

第三步，上一步余下的5结合后两位17得517，4乘2得8，而后就要口算出哪个 x 能够令十位数为8，个位数为 x 的两位数乘 x 后最接近517但又不能超过517，易知该数字为6，于是，记上百位数字6和 517−86×6 后余下的1。

至于这里为什么突兀地在5和1之间冒出了一个3，那其实是拆了一下计算过程， 将 517−86×6=1 写成了51−8×6=3,37−6×6=1 。

第四步，同理，余下的1结合84得184，46乘2得92，要想让百位数9，十位数2，个位数 x的三位数乘 x后不超过184，只能令 x为0，故十位数为0，余下184。

第五步，同理，18404=9202*2，得个位数为2。

至此手动开方结束。

当然，平时算算练练脑子也就罢了，急用的时候还是有计算尺能够帮忙的，那就一目了然了。

而且，军官们很快也就总结出经验，在实战中基本只需使用前后深度6~10列的队形即可。

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