高一阶段的函数是高中数学的重中之重

函数是贯穿高中数学三分之二内容的重点块面，包括解析几何也可以看作函数的图形化，再加上高考命题中概率统计的篇幅较小，导致函数几乎是高中中最重要的部分，并且这部分的连贯性和体系性也很明显。

函数实际上在初中就初步学习，高中进一步系统化和专业化，对函数的定义、性质、图像都做了专门的介绍和描述。函数的实质是一种对应关系，比如“天对地，雨对风，大陆对长空”就是一种对应关系，只不过数学中的对应关系主要通过数学关系体现，比如加减乘除的运算关系、指数对数的运算关系、角的大小与单位圆弧长的对应关系等。

函数有非常鲜明的“数形结合”的特点，“数”提供精确计算，"形”提供直观理解。比如函数的几项主要基本性质包括单调性、对称性、周期性，以及高中不太重点介绍但实际上很重要的连续性和反函数。其中单调性、对称性、周期性都有专门的数学定义，它们的图形更是非常直观：比如递增就是x增大的时候y也必须增大，递减就是x增大的时候y必须反过来减小；偶函数的对称就是到对称轴的横向距离相同的两侧，纵向的图形分布必须一样，奇函数的对称就是对称轴的横向距离相同的两侧，纵向的图形分布必须反过来；周期性就是间隔某一个恒定的距离后，得到的结果总是一样的；连续性就是基本初等函数的图像就像一根绳子，只要x不断开，那么y就不断开，如果已知连续函数（绳子）最左端和最右端的高度，那么它一定能经过这之间的所有高度；反函数就是把x和y对调，图形上是把x轴和y轴的名字互换下。如果说这些函数性质不够具体太过抽象，那么利用熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数具体展示下就行。

函数接下来重点学习指数函数、对数函数、三角函数。其中指数函数可以看作同一个数多次相乘的简便运算，然后推广到全体实数，利用这种简便运算的定义方式和推广原理，可以得到指数运算的各种性质和规律。对数运算可以看作指数运算的逆运算，利用指数运算的性质规律可以反推出对数运算的很多性质规律。以指数运算和对数运算为基础，可以得到幂函数、指数函数、对数函数这3种基本函数，并且各函数的基本性质和规律都能根据运算的性质规律分析推导出来，且函数的图像能整体现实各运算的全局变化趋势。

然后三角函数是一个全新的数学领域，它不再像小学初中那样用直角三角形的边长比例定义，而是用更自然、更广阔的“单位圆上的点的纵坐标、横坐标与角的大小的比值”来定义，即利用圆周长与圆半径之间更加“天然”的自然数学规律来定义。客观地仔细观察并记录角张开的程度与点的坐标之间的对应关系，就能得到最基本的正弦函数和余弦函数，对旋转过程进行详细深入的分析，就能得到三角函数的一些列基本性质规律、诱导公式、三角恒等变换等。

还在三角函数章节最后学习了函数平移和伸缩的基本规律，其原理也很直白：把函数图像上各点的坐标平移（加减）或伸缩（倍增或缩小）后，函数解析式需要做相反的变化，必须能让函数上的点坐标的变化与函数解析式的变化相互抵消，才能让函数解析中的等号仍然成立。另外变换的先后顺序也是先进行解析式中离变量x、y远的变换、后进行离变量近的变换，因为离得远的变换实际上是针对含x、y的某个表达式整体进行比爱你换。平移和伸缩变换的基本规律可以应用于一切函数。

这之后高中数学教材转向向量、直线和圆的方程、圆锥曲线等平面几何内容，而不是继续学习函数的导数，这是因为学习导数需要另外两个重要的前置知识：平面几何中的斜率和由数列引入的极限。真正合理地学习导数的方式是学完基本的平面几何知识，然后学习数列、数列求和、数列极限、数列求和的极限后，平滑地介绍导数的基本原理和定义规律，但实际上由于老师的水平和教学时间不足，导数通常是直接死记硬背概念和公式，然后当作分析函数单调性的公式无情无脑地使用，这导致学习不佳的同学直接放弃导数，学习不错的同学只能死记硬背。现实就是如此，虽然有些可惜，总之函数（不包括几何）部分就基本完成了。

（re cen）