小学初中的数学学习，重点不在于知识本身，而在于锻炼深入思考、长链条思维能力。有人称之为“思维体操”，确实很形象，和体育锻炼有诸多类似。

首先，日常训练时，跑步成绩没那么重要，只要跑起来就有好处；做数学难题，结果对错没那么重要，只要做了，就对思维有好处。

其次，老师或者父母的作用，也和健身教练类似，推杠铃、引体向上，差点上不去的时候，帮你一把。为什么数学竞赛也叫“教练”？跟运动员的教练一样，主要是起到一个陪伴和路径规划的作用。教练自己的竞技水平未必比运动员高，奥运冠军一样需要教练跟着，哪怕那个教练连全国冠军都没拿过。

最重要的一点，上强度要循序渐进，找到能力临界点，既让大脑、肌肉得到充分刺激，又不至于受到伤害，打击自信心，产生畏难情绪。

最近看到一个初中数学老师，他教普通班，平均成绩都能超过重点班十几分。他认为中学数学遇到困难，往往不是智商、认知问题，几乎都是情绪问题，作为班主任，他大部分时间都在解决孩子的畏难情绪，提升学习动力。

怎么解决？“铺台阶、帮过关”。比如他会故意让全班学生做一年前的难题，所有同学都觉得不难了，借此告诉大家，今天的困难在未来看，啥都不是。再比如，他有个学生，初一时数学考十几分，他就去帮学生剖析到底是哪里出的问题，发现要从小学的分解因数补起。他每天放学让学生去办公室，选5道合适的简单题给学生做，完全做对为止，就这样一点点地找回信心，跟上课内，最后中考居然考上了重点高中。

回想我自己，初中时数学不错，想自学竞赛，可是那时候教辅少，买回来数竞课本，上来就是各国数学竞赛真题，题目都看不懂；再看答案，满眼的什么“梅涅劳斯定理”“塞瓦定理”，听都没听过，直接把我心态干崩了，让我感觉有无穷无尽需要补充的知识点，给以后的数学学习都埋下了阴影。那时候没人告诉我，应该先学啥后学啥，没人告诉我，数学竞赛需要的额外知识点有哪些，不要被名词党唬住。编那些教材的人，水平也是真的差，害人不浅！

最后再举个铺台阶的例子。最近娃在学习五年级小奥，之前我翻到图1 这一页的题5，发现好难啊，一个5×7的网格，画了两个五角星，问至少包含一颗星的长方形共有多少？当时我觉得娃肯定学不会，因为我自己都没思路。

但是现在学到这里了，娃居然能独立做出来。原因？前面有台阶了，他是爬楼梯上来的。如果你先学了图2 和图3，也会觉得很轻松。

首先，你要学会：包括一颗星的长方形，就是数它上、下、左、右分别可以有几种选择（也就是几条线），运用乘法原理即可，比如图2的第4题，就是2×4×3×5=60种；第5题是包括2颗星，类似，48种。这一步不难。

其次，你要掌握图3的容斥原理，A+B-A交B，这一步也不难。

最后，先分别计算包括1颗星的，把实心、空心结果加起来，再减去包括2颗星的重复部分，就是“至少包括一颗星”的了。

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