边等着看电影边写小科普。 代数几何到底是什么？

以前参加某答辩，一个外系教授也问过我这个问题。要回答这个问题，先要说说我们传统的解析几何是什么？ 比如平面解析几何。它的主要想法就是把平面图形和方程组的解集等同起来。你也可以粗略地说，它是给方程组的解集赋予了“几何”结构，或者反过来，给几何图形赋予了“代数”或“分析”的结构。

比如，研究平面二次曲线的问题，就变成研究二元二次多项式问题(你也可以说成三元二次齐次多项式)，后者实际上又可以转化成3阶对称矩阵的问题。 二次曲线的性质都可以翻译到二次多项式或者矩阵上，反过来后者的性质也能通过图形来直观呈现。又比如三维空间解析几何研究的二次曲面也能翻译成三元二次多项式或者四阶对称矩阵。

代数几何其实就是解析几何。它要研究的是那些由多项式方程组的解集所呈现出的图形具有哪些性质。当然，它比传统解析几何的对象更复杂，研究工具也更高级。 传统解析几何，基本上只处理一次或二次多项式方程组对应的几何图形。这种情况下，图形或者方程组的性质都很好(这是有原因的，以后再解释)，所以不需要什么高级的工具就能开发出丰硕的成果。

当方程次数变高或者变量个数增加，研究难度就往往飙升不止一个数量级。比如平面三次曲线——也就是俗称的“椭圆曲线”——那是很多数学家都参与挖掘的宝藏，其难度和理论价值远远超越二次曲线。