托里拆利小号 (Torricelli's Trumpet) 是一个「体积有限但表面积无限大」的三维几何体，最初是意大利数学家和物理学家托里拆利 (Evangelista Torricelli) 提出。没错，就是中学物理课本上那个测量大气压的托里拆利(图1)。此形状又被称为加百利号角 (Gabriel's Horn)，根据宗教传说，天使长加百利吹号角 (图2) 以宣布审判日 (Judgment Day) 的到来。

这个几何体是通过双曲线的一部分 y = 1/x (x ≥ 1) 绕x轴旋转一周构造出来的(图3)。应用微积分中常见的旋转体体积与表面积的计算方法，可以求得其体积是π，表面积则发散至无穷。(图4)

如果我们试图用物理方法进行度量，就会发现它挑战了常规的认知与直觉：体积为π的有限量油漆可以填满其内部，但是无论用多少油漆都无法涂满其内表面。

这个反直觉现象也被称为“油漆匠悖论” (图5)。实际上是日常生活经验带来的错觉。想象一下这个场景：油漆匠把蓝色油漆灌满了一个透明的立方体容器，从外部我们就能观察到立方体的6个内表面已经被“涂满”了蓝色(图6)。装满一个容器所需的油漆总是比涂满表面所需的更多，因此人们自然会误以为容器的体积不可能“小于”内表面积，正如号角的体积π“小于”∞的表面积看起来很违背直觉。

解决这个“悖论”的关键在于认识到：前面两个积分计算结果所表达的，并不是物理意义上的“覆盖表面比填充空间需要更多的油漆”。表面积∞度量的是二维表面，而体积π度量的是三维空间，两者并不能进行比较。一个二维曲面即使表面积无穷大，在三维空间中的体积也是有限的(体积为0)。号角的体积π应该与相同单位的体积相比较，例如：π立方米 > 3 立方米，表面积∞则应与其他有限的二维表面积相比较。在直觉的驱动下，我们无意中将体积与表面积当作同一维度去比较大小，这无疑与声称“10厘米比1秒钟长得多”一样荒谬。

因此，这个几何体在数学中并非悖论，它只是反映了无穷集合的测度（体积/面积) 与直观认知的冲突。根据微积分处理无穷问题的逻辑，有限与无限不是对立的，而是可以在同一几何结构中共存的。不妨换个角度理解托里拆利的号角：二维世界的油漆匠永远不可能将内表面涂满，但三维世界的油漆匠只需π体积的油漆就能将其填满，这其实是一种降维打击。关于不同维数测度的独立性，分形几何中亦有不少“有限包容无限”的经典例子，例如学习编程的“递归”概念时经常会见到「周长无限而面积有限」科赫雪花（Koch snowflake）。(图7)

尽管这类反直觉结论符合数学世界的规则，但某些抽象的假设，在物理现实中往往很难实现。例如托里拆利的号角假定沿着一端无限延伸 (图8)，截面的直径会越来越窄乃至任意小，然而倒入的液体却不是无限可分的，因此总会卡在某一处从而无法填满剩余的底部。即使油漆的涂层没有厚度，制造一个无限长度的号角本身也是难以做到的。

这个今天看来trivial的问题，曾经困扰了17世纪的数学家们相当长一段时间，因为当时微积分还没建立起来。托里拆利的“号角”论文发表于1643年，恰好是牛顿出生的那一年(图9)。对这个问题的解释也揭示了物理与数学一个有趣的区别：物理学描述的是我们所处的宇宙，而数学描述的是所有可能的宇宙。基于逻辑推演，有时数学可以比我们的想象力走得还要远，甚至颠覆长久以来被视为真理的认知。#数学[超话]#