识图思辨俱佳的综合题
大罕

这是一道优质的初二数学综合题：题干文字稍长，配有3幅图示，需要学生沉下心来看图辨识、严谨思辨．这个过程本身既是对综合能力的考验，更是提升思维素养的宝贵契机，值得认真把握．本文将先给出详细解析，再附上简要评析。

【题目】如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，所得到的面积为2的大正方形的边就是原先面积为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 √2，
(1)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中点A表示的数为_____，点B表示的数为______．
(2)某同学把长为2、宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形，请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，并说明理由．
(3)若3是4a+5的一个平方根，3a+b-9的立方根是2，c为图3中小正方形边长的整数部分，求4a+b-c的平方根.

【解析】(1)学生可能忽略点A在负半轴，从而漏写负号．如图1，答案是：-√2,√2 ．
⑵把两个长方形沿对角线剪开，拼围成大正方形，如图2，那么大正方形的边长为1+2＝3，
∴大正方形的面积为3×3=9，
而四个边角上的三角形的面积为(1/2)×1×2×4=4，
∴中间小正方形的面积为9-4=5，于是小正方形的边长为√5．
⑶已知3是4a+5的一个平方根，且3a+b-9的立方根是2，则有
4a+5=3²，且3a+b-9=2³,
解得a=1，b=14.
∵c为⑵中小正方形边长√5的整数部分,
而2<√5<3，
∴c=2 ,
∴4a+b-c=4×1+14-2=16，
∴4a+b+c的平方根为±4 .

【评论】本题对知识覆盖全面， 层次分明，梯度合理，突出数形结合，渗透无理数√2, √5的发现，将平方根、立方根揉合进来，“随遇而安”，从而提升学生的数学素养．
本题提供了一个微型的“研究性学习”案例．引导学生从熟悉的特例（单位正方形与√2）出发，通过类比，探索并解决一个新的问题（长方形与√5），最后将探索得到的结论应用于更复杂的综合情境中．这种设计，非常有助于培养学生严谨的逻辑思维能力和灵活的迁移应用能力．

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