邓棋老师写的《初高中数学如何规划》，非常非常实用，再次转发给大家。文章很长，我把最关键的内容截图放一下。
初高中数学如何规划，科普扫盲，送给每个小学家长的必修课http://t.cn/A6BtFEs2
作者： 邓棋 邓棋讲数学
2025年03月13日
规划类的文章写了不少，随着升学政策的改变，规划也要迭代，希望对大家有所启发。

小初高中体系的关系

想要科学规划初高中数学学习，首先需对初高中阶段的学习特点形成基本认知。

既然高考是最终的检验目标，我们更应明确方向，以终为始进行系统规划——这种前瞻性视角能让我们在战略层面站得更高，在战术层面看得更远。

但凡对初中数学体系有所研究的家长，应该都有体会：几何板块的难度层级明显高于代数。

细数知识密度，代数章节往往仅需寥寥数条核心概念，而几何板块则密集涌现出定理体系；光是七上线与角，教材中的概念体量就有几十条。

命题者仅需两三个核心知识点即可构建试题框架，而知识点数量的累积必然导致题型组合呈指数级增长。试图通过题海战术穷尽所有题型变式，其时间投入产出比往往不尽如人意。

另外一个比较棘手的问题就是辅助线，辅助线其实是几何里面比较高阶的一项能力。需要学生在有效信息缺失的情况下，先补全图形，再解决问题。

整体来说几何在逻辑推理方面的要求是高于高中的，高中的立体几何大多归于代几综合运算 。所以从中考一模的丢分显著高于其他知识模块。

而纵向对比初高中代数内容，初中代数体系整体定位可以归入基础运算。以杭州中考和浙江省统考为例，掌握三种因式分解的方法及配方，即可应对绝大部分的代数函数试题，认知复杂度连高中代数基准线都达不到。

我们再来看看高中内容，高中从模块划分上，几何和代数的比重其实是比较均衡的。但是高中绝大部分的几何问题都是用代数求解，立体几何用平面向量计算，解析几何更是计算。立体几何算是能和几何扯上比较大的关系，但和初中的关系非常小。一个高三的孩子初中的几何题大概率做不过初三的孩子。

纵观高中数学的知识架构，几何与代数知识比重是比较均衡的。但深入观察可见，绝大部分的高中几何命题需借助代数工具——立体几何依托平面向量的坐标运算，解析几何更演变为代数方程的推导。即便立体几何仍保留较多传统几何特征，和初中平面几何的思维范式大有不同。一个高三的孩子初中的几何题大概率做不过初三的孩子。

高中代数方面，解析几何，函数导数，数列，概率，对代数的变形，各类技巧的能力要求很高，远远超过了中考的标准，举个什么例子呢，高中可能一两道代数的大题的整个思维量计算量，可能超过初中整份试卷的代数题思维量计算量。

当大家有了这些基本的认识，我们可以先确定，从几何的角度，初高中延续性是比较弱的，侧重点差异很大，几何方面主要是为了应对中考，锻炼思维。而代数方面，整个知识体系是强关联的，但是难度和广度提升很多，涉及的公式，变形都是远超初中。

我们得接受一个事实：中考结束后，大部分孩子知识储备和思维能力其实都达不到高中的要求。百分70-80%的家长得先接受这个前提，才能更好地去规划，否则头上一直悬着这把剑，对孩子的规划就会变形，就会焦虑。

学习深度和进度的关系

对初高中体系关系有了以上的认识后，在了解培养路线之前，我们先要对进度和深度的关系达成共识，才能更好的去规划后面的路线。

深度是比广度更重要的一个指标，学到哪里是个显性指标，但是学的有多深却很难感知。如果孩子没有把初中中考范围内的内容掌握好，就超前学高中内容，他仍然没法消化高中知识当中较难的部分。学初中他是跳一跳够得着，学高中跳一跳反而够不着了。这样的超前是没有太大意义的，对思维的深度没有帮助。

有了这样的共识后，我们来看看初中阶段的三条主要路线，适合非竞赛的广大学生。竞赛生爱咋咋，没有上限，没有门槛。

初中数学学习的三条主要路线

第一条纯中考路线：初中的知识其实是由很多延伸的，就像一棵大树，枝繁叶茂。那我们根据考试的特点和规律，做一些删减，不考的，太难的全删掉。用最精简的知识体系，最低的难度去覆盖中考，这样能够让孩子在最小的负担的情况下，在中考这个时间节点，取得最高的分数，让初中这个阶段性的成果最大化。高中的问题，上了理想的高中再说。

按照过往的经验，至少70—80%的孩子都适合这条路线。不用纠结别人学到哪里，让孩子做好当下的事情比什么都重要。

第二条路线就是初高衔接路线：初中的培养和高中的要求之间肯定是脱节。但比如一模中考能够满分或者接近满分的孩子，初中数学不错，高中数学拉垮的学生，到了高中基本都会感叹：为什么初中浪费了这么多时间。

所以初高衔接的路线主要是为了解决初高中断层的问题。在初中数学知识的框架体系内，根据高中的需求去做一些拓展，代数部分的拓展增加，以适应高中的要求。在初中框架体系内，能够让孩子们不增加知识面的情况下，锻炼深度思维的能力。并且这条路线是能够比较好地兼顾学校的教学进度，不会和校内脱节过于严重。

进度不脱节，知识储备和思维能力能达到高中的要求。数学经常高分，会有满分，但是压轴题能力不足，常常失分的这部分孩子，都适合这条培养路线。

最后一条路线就是初高中一体化路线：首要要强调一下，这条路线对孩子本身的要求是非常高的，要么非常耐鸡很配合，要么有一定的天赋，初中知识已经不够孩子施展的情况下，才能选择走这条路。

走这条路需要提前规划，至少六年级就要开始学习初高衔接路线当中的所有内容，并且在七八年级前后完成初中，争取出一年多的时间来学习高中的核心模块，衔接性的内容。

初高衔接的头部和能够坚持走完一体化路线的学生，在未来的签约和自招中一般都具备不错的竞争力。目前高中的签约考试，已经有高中内容下放的现象。没有长期规划会很吃亏。

除此之外，这条路线的核心目标当然是提前化解高中的负担。因为到了高一10门课，你数学不用太花时间总是有优势的。但最大的问题就是这样的规划和校内的脱节是极其严重的，而且加上学生在六七年级学的东西，到了七八九年级学校才大量的训练，整个遗忘率很高，如果训练不够充分，效果可能不理想。是对孩子的耐鸡程度或者天赋要求不低的一条路线。

这几条路线我们怎么做选择，大家可以看一下以下的这张图，我们按照遗忘率和接受知识的速度对孩子去做个分层，在右上角的部分，表示孩子的接受速度快，遗忘率低，越往右上角，孩子本身能力越强，往左下角代表孩子的学习能力不够强。



根据这些年的经验和感知，能够学习竞赛的学生大概占到人群里的1%，也就是100个人，最多只有1个人可以去试试学习竞赛内容。大家可以去翻翻我之前关于杭州竞赛成绩的推文，就知道我给的这个1%已经非常给面子了。因为杭州拿省一的孩子达不到千分之一，如果按照1%的人去走竞赛路线，可能有一大半在一两年内就会半途而废的。

适合提前学高中的大概是5%左右的人，而且这5%的孩子，并不代表他能够把高中全部学完，基本也只能量力而行，有实力的多学点，实力不够的学一些核心模块。

有一个大家感知不到的事情是，在竞赛的1%以下，到前5%，学生的水平差异是非常大的，正态分布的长尾效应很明显，是所以这个区间的人，反而是规划最难的，对家长的要求是最高的。

盲目跟风，或是过于躺平，都会伤害初高中六年的整体效率。孩子的时间是不可逆的。

再下来是适合走出高中衔接路线的人，大概能占到20%，这里已经囊括了中考能满分，有比较一定机会满分，但是没满分的孩子，那有的家长会考虑说，我家孩子大概在学校在30-40%，我能不能强行走一走初高中衔接路线？

事实是：20%已经充分考虑了大家望子成龙的心态。确实大部分孩子中考体系内的综合问题都没有解决好，再往外拓展，他也只能掌握拓展过程中比较浅的知识，对思维深度的训练，还是要通过现有的知识，增加复杂度来实现。

除了以上三类，应该大部分人都是适合走中考体系的。踏踏实实走中考体系，整体的学习效率最高，效果最好，本身整个初中数学就没得过满分，在100-110附近徘徊的这部分孩子，首先就要解决，在现在的知识体系下，能够解决复杂问题的能力。

超前对孩子来说，就是接受新的知识，并不代表他有复杂问题的解决能力。一定要搞清楚，学习深度，解决复杂问题的能力对孩子是最重要的。

最后的就是针对数学长期平均线以下的这部分孩子，可能还需要在中考体系下做一定的删减才行。在中考备考过程中，跟着大部队刷了大量综合体，却忽略了自身基础薄弱的孩子大有人在。

前进过程中判断的标准

拿杭州来说，如果孩子单科分数能够比较稳定在110（初二初三）以上，则需要着重增加综合问题的训练，代数函数的深度和广度要适当拓展，做好初高中的衔接。

然后孩子是否适合提前学高中，大家可以看两个标准：一个是理科的单科成绩一般能够维持在115以上，年级的综合排名能够维持在5%，一些生源强校至少10%以内。没有这个成绩作为支撑，提前学高中的路线都很难坚持到最后。

提前学高中的路线规划一定是和校内脱节的。孩子会不会出现阶段性的问题？答案是肯定的，但只要问题在可控的范围内，就不影响孩子往前走。如果你要求孩子在开学前就已经达到了120的水平，那你是准备让孩子接下来4个月在学校里的时间全部都浪费掉吗?

所以有一定的遗留问题，问题的程度可控，就可以让孩子用校内的时间去解决遗留问题。而不是要求孩子在每个阶段的开始就有120分的水平。这也是当孩子达到前5%的时候，家长规划的时候，必须要清晰的。否则可能会因为焦虑而动摇。

我们是在长期目标的引导下，收益最大化地帮孩子规划好路径。收益最大化，就不可避免要承担一些中途的成绩波动。而成绩波动还能成为孩子成长的契机，帮助家长和老师创造机会，帮孩子在心态和学习方法上成长。

目前中考环境下，头部追求极致的短期成绩收益不高。

最后还是强烈推荐一下我的公众号“邓棋讲数学”。我所知道的，所了解的所有初中数学相关的专业性知识，我都毫无保留地放到公众号了。如果你身边没有很专业的老师，那我建议你多翻翻公众号里面的文章，大部分的问题我相信也能找到一些思路和答案。

建议大家可以先读读怎么学，学什么的这个系列的文章。读完至少能保证作为家长能够和专业老师同频，对孩子的学习规划能够达成共识。