等边三角形旋转中的固定角与线段最小值
——2022年无锡市中考数学第18题评议
大罕

【题目】△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．

【解析】第一问：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴DC=AC，CD=CE，
∠BCD=60°-∠DCA=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE，如图1，
∴∠DBC=∠EAC=20°，
∴∠BAF＝60°+20°=80°.

第二问：以C为圆心，3为半径作圆C，过B作圆C的切线，切点为D，交△ABC外接圆于点F，又过C作AF延长线的垂线，垂足为点E，连接CD、CF，如图2，
以下分两步：
第一步证明△DCE为正三角形，即△DCE符合题设条件，
∵∠BFC=∠BAC=60°，∠EFC=∠ABC=60°，
∴∠DFC=∠EFC，
∵C、D、F、E四点共圆，
∴∠DCE=180°-∠DEF=60°，
由△DFC≌△EFC，知CD=CE，故△DCE为正三角形.

第二步，由A、F、E三点共线知，此时AF取最小值，以下计算这个最小值.
在Rt△ACE中，AE=√(AC^2-CE^2)=4，
在Rt△FCE中，∠FCE=30°，FE=EC•tan30°=√3，
∴AF取最小值为4-√3.

【评议】本题以双等边三角形旋转为背景，第一问考查全等模型的识别与应用，第二问考查动态问题的静态化处理，巧妙融合全等变换与圆的性质，既考查基础几何推理，又渗透核心数学思想，是一道优质的中考题．
本题也存在着瑕疵：题目一方面限定“点D在△ABC内”，另一方面“将△DCE绕点C旋转1周” （点D可以在△ABC外），这样自相矛盾的表述会干扰解题时的思维．
#数学##大罕讲数学题#