答疑：函数的两个单调递增区间能否用并集表示
大罕

【史嘉提问]一个函数有两个单调递增区间，能否用并集符号表示?

【大罕回答] 不能．举例如下：
例1、 函数 f(x)=-1/x有两个单调递增区间
(-∞,0)和(0,+∞)，但不能“说该函数的递增区间
是(-∞,0)U(0,+∞)”,也不能说“该函数是增函数”．
理由如下:
①并集运算的性质:并集是将两个集合合并为一个完整的集合．
②单调性的定义:设函数f(x)在区间M上
有定义，若对任意x₁, x₂∈M ，且 x₁< x₂，都有f(x₁) 以例1说明:
设 f(x)=-1/x的递增区间为(-∞,0)U(0,+∞)，任取x₁∈(-∞,0)，x₂∈(0,+∞)，满足x₁ 0, f(x₂)< 0,故f(x₁)>f(x₂)，这与单调递增定义矛盾．因此，函数递增区间不能表示为(-∞,0)U(0,+∞)．

通俗地说，若将两个递增区间用并集连接，则从两个区间中各取一个值，未必满足递增的条件．而用“和”字连接两个区间，则能保持各自的独立性，符合单调性的定义．

例2、求分段函数f(x)=x(x<0)，且f(x)=x²(x>0) 的单调区间．
解：该函数的递增区间是(-∞,0)和(0,+∞)．（如图2所示，该结论成立．

【注】区间(-∞,0)与(0,+∞)可以求並集．由于这两个区间无重叠且不相邻，所以已不是区间了，只能称为区间的並集．
因此我们建议，仍不能把集合
(-∞,0)U(0,+∞)称为例2函数的增区间．

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