借用网友的题目再来举例讲讲，高中不等式怎么纳入到代数几何框架里面。当然，这个讨论并不是要给出效率更好的方法(对中学生来说，柯西不等式显然更有效)，而是想要解释这些问题的背后其实是几何机制在起作用。 几何上看，研究极值就是在研究切线(如果是多变量，相当于研究切空间)。

令t=x+y,这时问题就变成求t(t-x)x-x^3-5=0这条三次曲线上的水平切线(在第一象限并且在t=x上方)。根据切线方程以及水平的要求，这就等于说上述方程左边关于x的偏导数应该在切点处等于0，即满足方程t^2-2tx-3x^2=0.利用它和原方程消去t,可得(x^3-1)(x^3-5)=0，根据题意条件(即t>x>0),只能是x=1,t=3. 返回原题，这就得到最小值3.

上述三次曲线就是著名的椭圆曲线。通过图三里的射影变换，变到(u,v)平面，成为标准形式u^2=v^3+125/4. 我们可以进一步问数论问题:这个方程有哪些有理数解(u,v)? 利用上面的极值讨论，我们有有理点(u,v)=(25/2,5). 然后，可以根据椭圆曲线的初等算法制造出无数个有理数解(u,v)(当然，运气不好的话，也可能只有有限个解). 具体做法见我们教材《代数几何》，这个算法只需要初中知识就够了。