初二：折叠问题的解题思路
大罕

平面图形折叠问题，是中学数学的一大难点．这类问题的关键是折叠前后的几何图形全等，需要解题者主动挖掘全等形的对应相等的元素，自觉拿来运用，进而破题．
对于初二而言，重点观察对应的角或线段，让它们在一个直角三角形中，用勾股定理列方程，解出未知数．本文结合三例，梳理解题的脉络．

【例1】如图，在矩形 ABCD中，AB=8, BC=4，将矩形ABCD 沿对角线AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AEC的面积。
【解】由折叠性质可知△ADC ≌△AD′C，故对应角相等，即 ∠DCA=∠D′CA，
又因矩形中，AB// CD，平行线的内错角相等，即∠DCA=∠CAB， ∴∠CAB=∠D′CA，
在Rt△BCE中，设EB=x，则 AE= EC=8-x，
这样一来，为使用勾股定理准备了充足的条件．
∴x²+4²=(8-x)²，解得x=3，则AE=8-3=5，
∴S(△AEC)=(1/2)•AE•BC=(1/2)•5•4=10.

【例2】如图2，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，点 E为线段AB上一点，连接CE，将△BCE沿CE翻折，点B的对应点B′，落在DA的延长线上，若‌‌∠B′CD=90°，则AB′=______．
【解】四边形ABCD是平行四边形， AD=BC=2, AB=CD=1，
又由翻折可得， 全等三角形的对应边相等，即CB′=BC=AD=2，
又‌‌∠B′CD=90°，则在Rt△B′CD中，
由勾股定理可得， DB′²=CB′²+CD²=2²+1²=5，
∴AB′=DB′-AD=√5-2，
故答案为：√5-2.

【例3】如图3，在矩形 ABCD中，AB=8, BC=16，点E,F分别在BC,AD上，将矩形 ABCD 沿 EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点D′处，求折痕EF的长．
【解】设BE=x，则CE=BC-BE=16-x，沿EF翻折后点C与点A重合，AE=CE=16-x,
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，即8²+x²=(16-x)²，
解得x=6，AE=16-6=10,
由翻折的性质得， ∠AEF= ∠CEF,
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=10，
过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，∴EH=AB=8，AH=BE=6，
∴FH=AF-AH=10-6=4，
在Rt△EFH中，EF=√(EH²+FH²)=√(64+16)
=4√5.
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