#今天要来点数学吗？# #多面体#

Cauchy（几何）定理是一个关于 凸多面体刚性（rigidity） 的基本结果，由法国数学家 Augustin-Louis Cauchy 在 1813 年证明（但其中的一个关键引理有点错误，这后来被数学家们修正）：

如果两个三维的凸多面体具有对应的面全等（大小形状相同），并且这些面之间连接关系一样，那么这两个多面体本身就必须是全等的。

换句话说，凸多面体的展开图一旦确定了各个面和面之间的连接方式，就唯一确定了这个凸多面体的形状。

想象你有六个正方形，你把它们像某个立方体的展开图一样铺开并标出边的连接方式： 那么，不管怎么折叠这些正方形，最终折出来的一定是一个立方体 —— 不可能形成别的凸形状。

从更严格的角度：

设 𝑃和𝑄是两个组合等价（combinatorially equivalent） 的三维凸多面体
→ 这意味着它们的“面–边–顶点”的连接结构一样。

这个定理说明了一个非常重要的事实：

三维凸多面体“面与连接方式”就完全决定了它的空间形状，不存在不同形状却有相同面与连接关系的凸多面体。

想象用刚性金属板做多面体的面，然后用铰链把这些板连接起来：只要这是一个 凸多面体，那么这个结构就 无法变形（不能弯曲）——它是 刚性的。

这就是定理常被称作的 柯西刚性定理（Cauchy’s Rigidity Theorem）。

凸性（convexity）这个条件非常关键，对于 非凸多面体，有时可以保持各个面的形状不变，但改变整体空间结构（比如把一个顶点“推进去”得到新形状）。生活里就有一个例子，大家见过手风琴吧。

视频为 教小朋友理解多面体展平的手工作品 http://t.cn/AXbRHpEg