#今天要来点数学吗？# #数学公理# 与#费马大定理#

上午才从John Carlos Baez那里听说，原来怀尔斯在证明费马猜想的时候，不自觉额外使用了一条超出ZFC系统的公理。

在ZFC中不能直接谈“所有集合的集合”，因为这会导致悖论（类似罗素悖论）。

Grothendieck在研究代数几何时引入了一个额外公理——宇宙公理（axiom of universes）。

直觉：对于任意一个基数，总存在一个更大的基数，使得“小于它的所有集合”形成一个“宇宙”。

效果：这个宇宙内部的集合论看起来几乎就像整个集合论一样。

这样可以在一个“受控的大集合”里安全地谈论“所有集合”，避免悖论，同时方便处理范畴论和代数几何中的大对象（如“所有模的范畴”）。

Grothendieck的代数几何框架（特别是拓扑斯理论、层论、范畴论）依赖宇宙公理来处理“大范畴”。后来成为现代数论和代数几何的基础，被用于证明费马大定理（FLT）。

既然证明链条中用到了宇宙公理，“宇宙公理”是否是FLT为真的必要前提？

美国逻辑学家Colin McLarty一直试图弄清这个问题。 他认为，在任何情况下，宇宙公理都是可以回避的——代价是使各种论证变得更加技术化。