一道45°角几何最值题的两个妙解
大罕

以下是2026年成都七中初二上期末几何压轴题，角度刁钻、条件隐蔽，将定长、定角、线段比例与最值融合，非常考验几何构造与转化能力．

【题目】如图1，在△ABC中，∠C=45°，AB=4，D是边AC上一点，且AD:BC=1: √2，则BD长的最小值为______.

以下解法由“揽数习文群”的群友给出．本人解法由下一篇文章给出．

【解法一】（常州于新华）过B作BE⊥BC，取BE=BC，连接CE，则△BCE为等腰直角三角形，
CE＝√2BC，∠BCE＝45°，如图2.
由BC=(√2)AD，得CE＝2AD，作BE⊥AC于E，过A作AB垂线，过D作AC垂线，两垂线交于F，
由AD:BC=1: √2可得，AD=BE，从而△FAD≌△ABE，FA＝AB＝4，
取AF中点M，连接MB、MD，则MD＝2，MB＝2√5，
因此BD≥MB-MD=2√5-2，即BC长的最小值为2√5-2.

【解法二】（@在线推）以AB为一条直角边，在△ABC同侧作等腰Rt△ABE，以AE为底边，在△ABE异侧作等腰Rt△AEF，
记AE的中点为G，连接DF，在△ABC和△FAD中，∠FAD=135°-∠BAC=∠ABC，AF∶BA=1∶√2=AD∶BC，
∴△ABC∽△FAD，∴∠ADF=C=45°，
∴A、D、E、F四点共圆，圆心为G，如图3，
显然，当B、D、G共线时，BD取得最小值为BG-GA=2√5-2.

【简评】两道解法殊途同归，都把“不规则动态三角形”转化为“定点、定长、定圆”的标准最值模型．
整题既考基础几何，又考构造思维，是一道区分度极高、非常经典的初二几何压轴题．
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